Сколько целых чисел на числовом отрезке [2079; 43167] делятся на 7 и содержат цифры 0, 2 и 5? Найдите количество таких

Morskoy_Cvetok

54

Для решения этой задачи сначала определим количество целых чисел на числовом отрезке [2079; 43167], которые делятся на 7. Мы можем использовать формулу для нахождения количества чисел, делящихся на заданное число в заданном интервале. Формула имеет следующий вид:

\[N = \left\lfloor\frac{{B - A}}{{D}}\right\rfloor + 1\]

где \(N\) - количество чисел, \(A\) - нижняя граница интервала, \(B\) - верхняя граница интервала, \(D\) - делитель.

Подставляя значения из задачи, получаем:

\[N = \left\lfloor\frac{{43167 - 2079}}{{7}}\right\rfloor + 1\]

\noindent Вычисляем:

\[N = \left\lfloor\frac{{41088}}{{7}}\right\rfloor + 1 = \left\lfloor5869,71\right\rfloor + 1 = 5869 + 1 = 5870\]

Теперь найдем количество чисел, которые содержат цифры 0, 2 и 5. Это можно сделать путем перебора чисел в диапазоне [2079; 43167] и проверяя каждое число на наличие цифр 0, 2 и 5. Однако такой способ решения займет много времени и требует человеческой интуиции при поиске этих чисел. Другой способ решения - использовать комбинаторику.

Есть 3 цифры, которые могут встречаться в каждой позиции числа: 0, 2 и 5. Только одно число может быть нулем, поэтому возможные комбинации цифр для каждой позиции следующие:
1 цифра: 0, 2 или 5 (3 варианта)
2 цифра: 0, 2 или 5 (3 варианта)
3 цифра: 0, 2 или 5 (3 варианта)
и т. д.

Таким образом, общее количество комбинаций будет равно произведению количества вариантов для каждой позиции. В данном случае у нас 5 позиций, поэтому общее количество комбинаций будет:

\[Количество = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 = 243\]

Теперь найдем минимальное из таких чисел. В сгенерированных числах, цифры упорядочены в порядке возрастания. То есть минимальное число будет состоять из цифр 0, 2 и 5, заданных в правильном порядке. Из всех возможных комбинаций выберем самую маленькую:

\[Минимальное \ number = 20500\]

Таким образом, количество целых чисел, на числовом отрезке [2079; 43167], делящихся на 7 и содержащих цифры 0, 2 и 5 равно 243, а минимальное из них - 20500. Указанный ответ можно записать как пару чисел: (243, 20500).