Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству: |x|

Вечный_Мороз

67

Данная задача связана с абсолютным значением. Мы должны определить, сколько целых чисел \( x \) удовлетворяют неравенству \( |x| < a \), где \( a \) - некоторая константа.

Рассмотрим два случая:

1. Если \( a > 0 \), то абсолютное значение \( |x| \) всегда будет положительным или равным нулю. Поэтому, неравенство \( |x| < a \) можно преобразовать к двум неравенствам: \( x < a \) и \( -x < a \). Подсчитаем количество целых чисел, удовлетворяющих каждому из неравенств по отдельности.

2. Если \( a = 0 \), то неравенство \( |x| < 0 \) не имеет решений, так как абсолютное значение не может быть отрицательным.

Для каждого случая, предоставлю пошаговое решение:

1. Если \( a > 0 \):
a) Неравенство \( x < a \):
Чтобы определить количество целых чисел, удовлетворяющих данному неравенству, нам нужно определить интервал, в котором они находятся. Так как в данном случае \( x \) должно быть меньше \( a \), то выберем интервал от минус бесконечности до \( a - 1 \), включая \( a - 1 \). Таким образом, количество целых чисел удовлетворяющих этому неравенству равно \( a - 1 \).
б) Неравенство \( -x < a \):
Данное неравенство можно преобразовать к виду \( x > -a \). Интервал, в котором \( x \) должно находиться, будет от \(-a + 1\) до плюс бесконечности, не включая \(-a + 1\). Количество целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству, также будет равно \( a - 1 \).

В обоих случаях общая сумма целых чисел, удовлетворяющих данным неравенствам, будет равна:
\[2(a - 1) = 2a - 2\]

2. Если \( a = 0 \):
Неравенство \( |x| < 0 \) не имеет целых решений.

Итак, в зависимости от значения \( a \), количество целых чисел \( x \), удовлетворяющих данному неравенству \( |x| < a \), может быть найдено по следующей формуле:

\[
\text{{Количество целых чисел}} =
\begin{cases}
2a - 2, & \text{{если }} a > 0 \\
0, & \text{{если }} a = 0 \\
\end{cases}
\]

Надеюсь, это пошаговое решение поможет вам лучше понять, сколько целых чисел удовлетворяют данному неравенству. Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задать их.