Сколько целых чисел включает данная последовательность, заданная как Cn = 15/n+2?

Антонович

7

Данная последовательность задана формулой \(C_n = \frac{15}{n+2}\), где \(n\) - натуральное число.

Чтобы понять, сколько целых чисел включает данная последовательность, нам нужно найти все натуральные значения переменной \(n\), при которых значение \(C_n\) является целым числом.

Для этого, давайте преобразуем формулу последовательности:

\(C_n = \frac{15}{n+2}\)

Мы знаем, что дробь будет являться целым числом, если числитель делится без остатка на знаменатель. Таким образом, у нас будет следующее уравнение:

\(15 \mod (n+2) = 0\)

Здесь знак "\(\mod\)" обозначает операцию взятия остатка от деления.

Теперь решим это уравнение:

\(15 \mod (n+2) = 0\)

Проверим все натуральные значения переменной \(n\) для того, чтобы найти, при каких значениях результат будет равен нулю.

\(n = 1: \quad 15 \mod (1+2) = 15 \mod 3 = 0\)

\(n = 2: \quad 15 \mod (2+2) = 15 \mod 4 = 3\)

\(n = 3: \quad 15 \mod (3+2) = 15 \mod 5 = 0\)

\(n = 4: \quad 15 \mod (4+2) = 15 \mod 6 = 3\)

\(n = 5: \quad 15 \mod (5+2) = 15 \mod 7 = 1\)

\(n = 6: \quad 15 \mod (6+2) = 15 \mod 8 = 7\)

И так далее.

Как мы видим, значения, при которых результат равен нулю, это \(n = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13\).

Это означает, что последовательность \(C_n = \frac{15}{n+2}\) будет иметь целые числа при значениях переменной \(n\), равных 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Таким образом, данная последовательность включает 7 целых чисел.