Сколько человек на первом курсе колледжа может заразиться гриппом во время эпидемии, если изначально поступили

Лия

36

Чтобы решить эту задачу и определить количество зараженных людей на первом курсе колледжа во время эпидемии гриппа, мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение применяется в случаях, когда имеется эксперимент с двумя возможными результатами (в данном случае, заражение или незаражение) и мы интересуемся количеством успехов (заражений) из определенного количества испытаний (студентов).

Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что количество зараженных студентов равно \(k\)
- \(\binom{n}{k}\) - количество комбинаций из \(n\) объектов, выбранных \(k\) способами
- \(p\) - вероятность заражения (0,75 в данной задаче)
- \(n\) - общее количество испытаний (400 студентов в данной задаче)
- \(k\) - количество заражений, которое нас интересует

Окей, теперь давайте решим задачу.

Мы хотим узнать, сколько студентов будет заражено, поэтому нас интересует вероятность \(P(X \geq 1)\) (вероятность, что количество зараженных студентов будет больше или равно 1).

У нас есть формула, но для начала, найдем количество комбинаций \(\binom{n}{k}\).
Формула для комбинаторики выглядит следующим образом:
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\]
Где "!" - факториал, то есть произведение всех положительных целых чисел до указанного числа (например, \(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\))

Теперь мы можем решить задачу. Подставим все значения в формулу биномиального распределения:

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
\[P(X \geq 1) = 1 - \binom{400}{0} \cdot 0,75^0 \cdot (1-0,75)^{400-0}\]

Рассчитаем каждое слагаемое:

\[\binom{400}{0} = \frac{400!}{0! \cdot (400-0)!} = 1\]
\(0,75^0 = 1\) (Любое число, возведенное в степень 0, равно 1)
\((1-0,75)^{400-0} = 0,25^{400}\)

Теперь подставим значения:

\[P(X \geq 1) = 1 - 1 \cdot 1 \cdot 0,25^{400}\]

Вычислим значение \(0,25^{400}\) в научной форме:

\[0,25^{400} \approx 4,89 \times 10^{-82}\]

Теперь подставим это значение в исходное уравнение:

\[P(X \geq 1) \approx 1 - 1 \cdot 4,89 \times 10^{-82}\]

Окончательный результат:

\[P(X \geq 1) \approx 1\]

То есть, вероятность того, что хотя бы один студент заразится гриппом на первом курсе колледжа во время эпидемии, приближенно равна 1.

Таким образом, можно сказать, что все 400 студентов на первом курсе колледжа могут заразиться гриппом во время эпидемии.

Пожалуйста, обратите внимание, что это лишь теоретическая модель, и фактическое количество зараженных может отличаться в зависимости от множества факторов, таких как иммунитет, меры предосторожности и другие условия. Важно соблюдать рекомендации и меры предосторожности, предоставленные медицинскими специалистами и здравоохранительными организациями.