Сколько элементарных исходов удовлетворяют событию B, которое состоит в том, чтобы в серии из 10 подбрасываний монеты

Yuriy

61

Для решения данной задачи, мы должны использовать комбинаторику. В основе этой задачи лежит биномиальное распределение, так как у нас есть серия из 10 подбрасываний монеты, где выпадение орла или решки рассматривается как бинарный результат.

Давайте рассмотрим каждое подбрасывание монеты и его результат. У нас есть 10 подбрасываний, поэтому возможно 2^10 или 1024 исхода.

Но нас интересуют только случаи, когда орел выпадает четное число раз, не менее 2 раз. Чтобы орел выпал четное число раз, его может быть 0, 2, 4, 6 или 8 раз.

Выпадение 0 орлов и 10 орлов не удовлетворяет условию задачи, поэтому мы их исключаем. Остаются 2, 4, 6 и 8 выпадений орла.

Теперь давайте рассмотрим каждый из этих случаев один за другим:

1. Орел выпадает 2 раза: выбираем 2 из 10 подбрасываний, которые будут орлами. Это можно сделать с помощью сочетания. Формула сочетания из n элементов по k элементов:

\[{n \choose k} = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Применяя эту формулу к нашей задаче, получаем:

\[{10 \choose 2} = \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = \frac{{10 \cdot 9}}{{2}} = 45.\]

2. Орел выпадает 4 раза: выбираем 4 из 10 подбрасываний, которые будут орлами. Снова используем формулу сочетания:

\[{10 \choose 4} = \frac{{10!}}{{4! \cdot (10-4)!}} = \frac{{10!}}{{4! \cdot 6!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 210.\]

3. Орел выпадает 6 раз: выбираем 6 из 10 подбрасываний, которые будут орлами:

\[{10 \choose 6} = \frac{{10!}}{{6! \cdot (10-6)!}} = \frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 210.\]

4. Орел выпадает 8 раз: выбираем 8 из 10 подбрасываний, которые будут орлами:

\[{10 \choose 8} = \frac{{10!}}{{8! \cdot (10-8)!}} = \frac{{10!}}{{8! \cdot 2!}} = \frac{{10 \cdot 9}}{{2}} = 45.\]

Теперь мы посчитали число элементарных исходов для каждого случая, где орел выпадает четное число раз, не менее 2 раз. Чтобы получить общее количество, мы можем сложить все эти значения:

45 + 210 + 210 + 45 = 510.

Таким образом, в серии из 10 подбрасываний монеты орел выпадает четное число раз, не менее 2 раз, существует 510 элементарных исходов, удовлетворяющих событию B.