Сколько грибов нашли три девочки в лесу, если первая девочка собрала грибы в кучки по 5 штук, вторая девочка в кучки
Сколько грибов нашли три девочки в лесу, если первая девочка собрала грибы в кучки по 5 штук, вторая девочка в кучки по 6 штук, и количество полученных кучек оказалось одинаковым? Кроме того, если вторая девочка соберет грибы в кучки по 4, а третья девочка по 3 штуки, снова количество полученных кучек будет одинаковым. Число грибов, собранных каждой девочкой, каково?
Zagadochnyy_Ubiyca 37
Для решения этой задачи, нам необходимо найти такое число, при делении которого на 5, 6 и 4, остаток будет одинаковым. Также, после деления на 4 и 3 остаток должен быть одинаковым.Можем составить уравнение для первой ситуации, используя x как искомое число грибов:
\[x \mod 5 = x \mod 6 = x \mod 4\]
Теперь решим это уравнение пошагово.
1. Найдем общий остаток при делении на 5, 6 и 4:
\[x \mod 5 = x \mod 6 = x \mod 4 = y\]
2. Зная, что x имеет общий остаток y при делении на 5, мы можем записать x в следующей форме:
\[x = 5k + y\]
где k - некоторое целое число.
3. Подставляя это во второе условие:
\[5k + y \mod 6 = y\]
\[5k \mod 6 = 0\]
4. Чтобы найти k, найдем все целые числа, кратные 5, и проверим их остатки при делении на 6.
\[5 \mod 6 = 5\]
\[10 \mod 6 = 4\]
\[15 \mod 6 = 3\]
\[20 \mod 6 = 2\]
\[25 \mod 6 = 1\]
\[30 \mod 6 = 0\]
5. Таким образом, k может быть равно 6m, где m - некоторое целое число.
6. Подставляя это в первое условие:
\[x = 5(6m) + y = 30m + y\]
7. Последнее условие задачи говорит нам, что x также имеет одинаковый остаток при делении на 4 и 3:
\[30m + y \mod 4 = 30m + y \mod 3\]
8. Разберемся со вторым условием:
\[30m \mod 4 = 30m \mod 3\]
\[2m \mod 3 = 0\]
9. Чтобы найти m, найдем все целые числа, кратные 2, и проверим их остатки при делении на 3.
\[2 \mod 3 = 2\]
\[4 \mod 3 = 1\]
\[6 \mod 3 = 0\]
10. Таким образом, m может быть равно 3n, где n - некоторое целое число.
11. Подставляя это в шестой шаг:
\[x = 30(3n) + y = 90n + y\]
12. Последнее условие задачи говорит нам, что x также имеет общий остаток при делении на 3:
\[90n + y \mod 3 = y\]
13. Очевидно, что y всегда равно 0 при делении на 3. Это означает, что x должно быть кратно 3.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что x должно быть числом, которое делится на 3 и на 30, значит x должно быть кратным числу 30. Числа, которые удовлетворяют этому условию, это числа вида 30n, где n - некоторое целое число.
Итак, ответ на задачу: количество грибов, собранных каждой девочкой, должно быть равно 30.