Сколько килограммов марганца находится в сплаве, который весит 208 кг и состоит из никеля, меди и марганца?

Смешанная_Салат

34

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала нам необходимо узнать, какой процент сплава составляет марганец. Для этого нам понадобится информация о содержании каждого металла в сплаве.

2. Допустим, что в сплаве содержится \(x\) килограммов никеля, \(y\) килограммов меди и \(z\) килограммов марганца.

3. Так как общий вес сплава составляет 208 кг, мы можем записать следующее уравнение:
\[x + y + z = 208.\]

4. Теперь у нас есть ещё одна информация: некоторый процент сплава состоит из марганца. Пусть процент составляет \(p\%\). Тогда мы можем записать следующее уравнение:
\[\frac{z}{x+y+z} = \frac{p}{100}.\]

5. Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из двух уравнений. Мы можем использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы решить эту систему.

6. Для удобства давайте решим второе уравнение относительно \(z\):
\[z = \frac{p}{100} \cdot (x+y+z).\]

7. Раскроем скобки:
\[z = \frac{p}{100} \cdot x + \frac{p}{100} \cdot y + \frac{p}{100} \cdot z.\]

8. Вычтем \(\frac{p}{100} \cdot z\) из обеих частей уравнения:
\[z - \frac{p}{100} \cdot z = \frac{p}{100} \cdot x + \frac{p}{100} \cdot y.\]

9. Упростим уравнение и найдем значение \(z\):
\[\frac{100-p}{100} \cdot z = \frac{p}{100} \cdot x + \frac{p}{100} \cdot y.\]
\[z = \frac{\frac{p}{100} \cdot x + \frac{p}{100} \cdot y}{\frac{100-p}{100}}.\]

10. На данном этапе мы можем заменить значение \(z\) в первом уравнении:
\[x + y + \frac{\frac{p}{100} \cdot x + \frac{p}{100} \cdot y}{\frac{100-p}{100}} = 208.\]

11. Упростим уравнение:
\[x + y + \frac{p}{100} \cdot x + \frac{p}{100} \cdot y = 208 \cdot \frac{100-p}{100}.\]

12. Сгруппируем переменные:
\[\left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot x + \left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot y = 208 \cdot \frac{100-p}{100}.\]

13. Вынесем общий множитель:
\[\left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot (x + y) = 208 \cdot \frac{100-p}{100}.\]

14. Для упрощения записи обозначим \(\frac{p}{100}\) как \(r\):
\[(1 + r) \cdot (x + y) = 208 \cdot \frac{100-p}{100}.\]

15. Раскроем скобки и упростим выражение:
\[x + y + r \cdot x + r \cdot y = 208 - 208 \cdot \frac{p}{100}.\]
\[(1 + r) \cdot x + (1 + r) \cdot y = 208 - 208 \cdot \frac{p}{100}.\]

16. Вернемся к первому уравнению:
\[x + y + z = 208.\]
\[(1 + r) \cdot x + (1 + r) \cdot y + z = 208.\]

17. Заменим \(x + y\) на \(208 - z\):
\[(1 + r) \cdot (208 - z) + z = 208.\]

18. Раскроем скобки:
\[208 + (1 + r) \cdot (-z) + z = 208.\]

19. Упростим уравнение:
\[208 - z - r \cdot z + z = 208.\]

20. Удалим одинаковые члены:
\[-r \cdot z = 0.\]

21. Значит, марганцевый компонент сплава \(z\) равен 0 кг.

Таким образом, мы получаем, что в данном сплаве все весит, кроме марганца. Если я могу помочь вам ещё чем-то, пожалуйста, сообщите мне!