Сколько клеток будет поглощено субстанцией через n ходов на бесконечном поле, разделенном на клетки, где каждый

Магия_Звезд

4

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Когда субстанция начинает поглощать клетки, мы можем представить это процессом распространения, где каждый ход добавляет новые поглощенные клетки к уже имеющимся. Мы начинаем с поглощения одной клетки, и на каждом следующем ходу соседние клетки также становятся поглощенными.

Давайте рассмотрим первые несколько ходов для лучшего понимания:

- Ход 1: Поглощена одна клетка.
- Ход 2: Все клетки, соседствующие с уже поглощенными клетками, также поглощаются. Таким образом, на этом ходу будет поглощено 6 клеток.
- Ход 3: Все клетки, соседствующие с уже поглощенными клетками на предыдущем ходу, также поглощаются. Количество поглощенных клеток на этом ходу будет зависеть от расположения уже поглощенных клеток. Всего на этом ходу может быть поглощено от 6 до 18 клеток.

Этот процесс будет продолжаться далее для каждого следующего хода. Количество поглощенных клеток на каждом ходу будет зависеть от количества уже поглощенных клеток и их расположения.

Чтобы найти общее количество поглощенных клеток через n ходов, нам понадобится разработать формулу, которая учитывает количество клеток на каждом ходу и добавляет его к общему количеству поглощенных клеток.

Математически, мы можем записать это следующим образом:

\[S_n = S_{n-1} + (6 + 6n),\]

где \(S_n\) обозначает общее количество поглощенных клеток через n ходов, \(S_{n-1}\) - общее количество поглощенных клеток через n-1 ход, и \(6 + 6n\) - количество поглощенных клеток на текущем ходу.

Теперь, если мы знаем начальное количество поглощенных клеток (1) и хотим узнать, сколько клеток будет поглощено через n ходов, мы можем применить эту формулу и пройти поочередно через каждый ход.

Например, если мы хотим узнать, сколько клеток будет поглощено через 5 ходов, мы можем записать:

\[S_5 = S_4 + (6 + 6 \cdot 5),\]

\[S_4 = S_3 + (6 + 6 \cdot 4),\]

\[S_3 = S_2 + (6 + 6 \cdot 3),\]

\[S_2 = S_1 + (6 + 6 \cdot 2),\]

\[S_1 = 1.\]

Теперь давайте посчитаем общее количество поглощенных клеток через 1, 2, 3, 4 и 5 ходов.

\[S_1 = 1.\]

\[S_2 = S_1 + (6 + 6 \cdot 2) = 1 + (6 + 12) = 19.\]

\[S_3 = S_2 + (6 + 6 \cdot 3) = 19 + (6 + 18) = 43.\]

\[S_4 = S_3 + (6 + 6 \cdot 4) = 43 + (6 + 24) = 79.\]

\[S_5 = S_4 + (6 + 6 \cdot 5) = 79 + (6 + 30) = 121.\]

Таким образом, через 5 ходов будет поглощено 121 клетка.

Я надеюсь, что это пошаговое решение помогло вам понять задачу и найти ответ. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!