Сколько комплектов, состоящих из 6 разноцветных бусинок, можно составить из 6 бусинок каждое? Каково количество

Солнечный_Бриз_1991

49

Давайте решим все эти задачи поочередно.

1) Сколько комплектов, состоящих из 6 разноцветных бусинок, можно составить из 6 бусинок каждое?
Для решения этой задачи используем формулу для количества сочетаний без повторений. Формула имеет вид:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
где \(n\) - общее количество предметов, а \(k\) - количество предметов, выбираемых для комбинации. Подставляя значения для этой задачи, получим:
\[C_6^6 = \frac{{6!}}{{6!(6-6)!}} = \frac{{6!}}{{6! \cdot 0!}} = \frac{{6!}}{{6! \cdot 1}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 1\]
Таким образом, можно составить только один комплект из 6 разноцветных бусинок.

2) Каково количество возможных комбинаций, которые можно выбрать из группы из 8 человек для поощрения тройкой?
Для решения этой задачи также используется формула сочетаний без повторений. Мы хотим выбрать 3 человек для поощрения из группы из 8 человек. Используем формулу:
\[C_8^3 = \frac{{8!}}{{3!(8-3)!}} = \frac{{8!}}{{3! \cdot 5!}} = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 56\]
Таким образом, есть 56 возможных комбинаций для выбора 3 человек из группы из 8 человек.

3) Из группы из 25 человек необходимо выбрать старосту и 4 члена совета. Сколько вариантов выбора существует?
Для решения этой задачи используется формула сочетаний без повторений. Мы хотим выбрать 5 человек (1 старосту и 4 члена совета) из группы из 25 человек. Используем формулу:
\[C_{25}^5 = \frac{{25!}}{{5!(25-5)!}} = \frac{{25!}}{{5! \cdot 20!}} = \frac{{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20!}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 20!}} = 53130\]
Таким образом, существует 53130 вариантов выбора старосты и 4 членов совета из группы из 25 человек.

4) Как можно разделить 4 различных подарка между 10 людьми?
Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику размещений с повторениями. Формула для количества размещений с повторениями имеет вид:
\[A_{n}^{k} = n^{k}\]
где \(n\) - количество различных предметов, а \(k\) - количество мест, на которые мы хотим разместить эти предметы. В данном случае, каждому человеку мы можем дать любой из 4 подарков. Поэтому количество вариантов будет:
\[4^{10} = 1048576\]
Таким образом, существует 1048576 различных способов разделить 4 различных подарка между 10 людьми.

5) В колоде из 36 карт, событие A - извлечение туза, а событие B - извлечение дамы. Какова вероятность события A и B одновременно?
Для решения этой задачи необходимо узнать количество благоприятных исходов и общее количество исходов. Количество тузов в колоде равно 4, а количество дам равно 4. Событие A можно выполнить 4 способами, а событие B - также 4 способами. Таким образом, благоприятные исходы равны 4. Общее количество исходов равно 36, так как в колоде 36 карт. Поэтому вероятность события A и B одновременно равна:
\[\frac{{4}}{{36}} = \frac{{1}}{{9}}\]
Таким образом, вероятность события A и B одновременно составляет \(\frac{{1}}{{9}}\).