Сколько компьютеров нужно проверить, чтобы с вероятностью, не ниже 0,99, можно было утверждать, что отклонение доли

Ксения

61

Для решения данной задачи, мы можем использовать неравенство Чебышёва, которое позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Неравнство Чебышёва имеет вид:
\[P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}\]
где \(X\) - случайная величина, \(\mu\) - математическое ожидание случайной величины, \(\sigma\) - стандартное отклонение случайной величины, \(k\) - положительное число.

В нашем случае, нам дано, что доля качественных изделий составляет 0.7 (\(\mu = 0.7\)). Нас интересует вероятность отклонения от этой доли на значение, не превышающее 0.01 (\(k\sigma = 0.01\)). Также, нам необходимо найти минимальное количество компьютеров, которые нужно проверить, чтобы с вероятностью не ниже 0.99 (\(P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq 0.01\)) можно было утверждать, что отклонение доли качественных изделий не будет превышать 0.01.

Подставим значения в неравенство Чебышёва и решим его относительно количества компьютеров:
\[\frac{1}{k^2} \leq 0.01\]
\[\frac{1}{0.01} \leq k^2\]
\[100 \leq k^2\]
\[k \geq 10\]

Таким образом, мы получили, что необходимо взять \(k = 10\). Чтобы оценить вероятность отклонения с заданной точностью, нам необходимо проверить как минимум 100 компьютеров, так как при этом значение \(|X - \mu|\) будет отклоняться от ожидаемой доли не более чем на 0.01 с вероятностью не ниже 0.99.