Сколько корней имеет уравнение tg2x = tgx на отрезке [п/2;3п/2]?

Космическая_Чародейка

67

Для решения данной задачи, нам нужно найти количество корней уравнения \(\tan(2x) = \tan(x)\) на интервале \([ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} ]\).

Давайте приступим к решению.

Первым шагом, мы можем привести тригонометрические функции \(\tan(2x)\) и \(\tan(x)\) к общему знаменателю. Зная, что \(\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1- \tan^2(x)}\), мы можем заменить уравнение следующим образом:

\(\frac{2\tan(x)}{1- \tan^2(x)} = \tan(x)\)

Теперь, мы можем умножить обе части уравнения на \((1- \tan^2(x))\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(2\tan(x) = \tan(x) - \tan^3(x)\)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем квадратные члены в порядок:

\(\tan^3(x) - \tan(x) = 0\)

Теперь нам нужно решить полученное кубическое уравнение. Однако, наша задача - найти количество корней, а не их точные значения.

Заметим, что данное кубическое уравнение имеет форму \(\tan^3(x) - \tan(x) = 0\), что эквивалентно \(f(x) = \tan^3(x) - \tan(x)\).

Функция \(f(x)\) - непрерывная на интервале \([ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \), и на данном интервале значение функции меняется от положительного к отрицательному, следовательно, она пересекает ось абсцисс как минимум один раз.

Таким образом, уравнение \(\tan^3(x) - \tan(x) = 0\) имеет как минимум один корень на интервале \([ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \).

Ответ: Уравнение \(\tan(2x) = \tan(x)\) имеет как минимум один корень на отрезке \([ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \).