Сколько лет понадобится, чтобы все молекулы покинули ограниченный объем, если через щель каждую секунду просачивается

Донна

35

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Для начала определимся с тем, сколько молекул находится в ограниченном объеме. Обозначим это число за \(N\).

2. Так как каждую секунду через щель просачивается миллион молекул, то за одну секунду количество молекул в ограниченном объеме уменьшается на миллион. Пусть \(dN\) - это изменение количества молекул за единицу времени, тогда \(dN = -1,000,000\) (отрицательное значение, так как количество молекул уменьшается).

3. Теперь нам нужно выразить дифференциальное уравнение, которое описывает изменение количества молекул. Согласно определению, мы можем написать следующее:

\[\frac{dN}{dt} = -1,000,000\]

где \(\frac{dN}{dt}\) представляет собой скорость изменения количества молекул со временем.

4. Давайте перепишем это уравнение с использованием интеграла. Интегрируя обе стороны уравнения, получим:

\[\int\frac{dN}{dt} dt = \int -1,000,000 dt\]

5. Интегрируя, получаем:

\[N = -1,000,000t + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

6. Теперь мы можем решить уравнение относительно времени. Поскольку нас интересует момент, когда все молекулы покинут ограниченный объем, мы можем приравнять \(N\) к нулю и решить это уравнение для \(t\):

\[0 = -1,000,000t + C\]

7. Чтобы найти значение \(C\), мы можем использовать начальное условие: в начальный момент времени количество молекул в ограниченном объеме равно \(N_0\). Подставим это в уравнение:

\[N_0 = -1,000,000 \cdot 0 + C\]

\[N_0 = C\]

Таким образом, значение постоянной \(C\) равно \(N_0\).

8. Подставим значение \(C\) в наше уравнение:

\[N = -1,000,000t + N_0\]

9. Теперь найдем время, когда все молекулы покинут ограниченный объем. Подставим \(N = 0\) в уравнение:

\[0 = -1,000,000t + N_0\]

10. Решим это уравнение относительно времени \(t\):

\[t = \frac{N_0}{1,000,000}\]

11. Итак, получается, что время, необходимое для того, чтобы все молекулы покинули ограниченный объем, равно \(\frac{N_0}{1,000,000}\) секунд, где \(N_0\) - начальное количество молекул в ограниченном объеме.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решить данную задачу!