Сколько лип можно вырубить вдоль прямой улицы так, чтобы 11 из них не были смежными?

Ян

17

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод перебора. Давайте разберемся пошагово:

1. Разместим первую липу на улице. Вариантов у нас удостаточно - это любое место на улице.

2. Теперь нам нужно разместить еще 10 лип. Идея состоит в том, чтобы выбрать место для каждой липы так, чтобы она была на расстоянии более одной липы от любой другой. Для этого подойдет следующий алгоритм:
- Выберем расстояние между первой и второй липой. Пусть это будет расстояние \(d_1\).
- Выберем расстояние между второй и третьей липой. Пусть это будет расстояние \(d_2\).
- Продолжим выбирать расстояния между каждой следующей парой лип, пока не выберем расстояния \(d_1, d_2, ... d_9\) между первой и десятой липами.
- Заметим, что общая длина всех расстояний будет равна \(11\). Так как нам дана улица, длина которой не указана, то вариантов для размещения этих расстояний будет бесконечно много.

3. Посчитаем количество способов выбрать расстояния \(d_1, d_2, ... d_9\). Поскольку длина улицы может быть любой, мы можем решить эту задачу с помощью комбинаторики. Заметим, что наша задача эквивалентна нахождению числа разбиений числа 11 на 9 слагаемых. Существует несколько способов сделать это, например, с помощью разбиений числа на комбинации из кубиков, но самый простой способ - использовать теорию чисел. Нам понадобится функция \(C(n-1, k-1)\), где \(n\) - это сумма, которую нужно разбить, а \(k\) - количество слагаемых в разбиении.

По формуле биномиальных коэффициентов, \(C(n-1, k-1) = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\). В нашем случае \(n=11\) и \(k=9\), поэтому \(C(10, 8) = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45\).

4. Таким образом, количество способов вырубить липы вдоль прямой улицы так, чтобы 11 из них не были смежными, равно 45.

Важно отметить, что эта задача предполагает наличие бесконечно длинной улицы. Если в условии задачи указано конкретное значение длины улицы, то ответ может быть другим.