Сколько литров воды насос второго перекачивает за минуту, если первый насос каждую минуту перекачивает на 8 литров воды

Zayac

29

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть \( x \) - количество литров воды, которое насос второго перекачивает за минуту.

Согласно условию задачи, первый насос перекачивает на 8 литров воды больше, чем второй насос. Значит, первый насос перекачивает \( x + 8 \) литров воды за минуту.

По условию также известно, что второй насос наполняет резервуар с объемом 240 л на 4 минуты дольше, чем первый насос наполняет резервуар с объемом 192 л.

Для первого насоса мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{{192}}{{x + 8}} = t_1\),

где \( t_1 \) - время, которое первый насос тратит на наполнение резервуара с объемом 192 л. Здесь мы использовали пропорцию между объемом резервуара и скоростью наполнения насоса.

Аналогично, для второго насоса у нас есть следующее уравнение:

\(\frac{{240}}{{x}} = t_2\),

где \( t_2 \) - время, которое второй насос тратит на наполнение резервуара с объемом 240 л.

Из условия мы знаем, что \( t_2 = t_1 + 4 \) - второй насос тратит на 4 минуты больше, чем первый насос.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Сначала решим первое уравнение относительно \( t_1 \):

\(\frac{{192}}{{x + 8}} = t_1\).

Умножим обе части уравнения на \( x + 8 \):

\(192 = t_1 \cdot (x + 8)\).

Теперь решим второе уравнение относительно \( t_2 \):

\(\frac{{240}}{{x}} = t_2\).

Заменим \( t_2 \) вторым уравнением на \( t_1 + 4 \):

\(\frac{{240}}{{x}} = t_1 + 4\).

Теперь у нас есть система уравнений:

\(\begin{cases} 192 = t_1 \cdot (x + 8) \\ \frac{{240}}{{x}} = t_1 + 4 \end{cases}\).

Давайте решим эту систему уравнений.

Первое уравнение можно переписать в виде:

\(192 = xt_1 + 8t_1\).

Из второго уравнения найдем \( t_1 \):

\(\frac{{240}}{{x}} = t_1 + 4 \Rightarrow t_1 = \frac{{240}}{{x}} - 4\).

Теперь подставим выражение для \( t_1 \) в первое уравнение:

\(192 = x \cdot \left(\frac{{240}}{{x}} - 4\right) + 8 \cdot \left(\frac{{240}}{{x}} - 4\right)\).

Упростим и решим это уравнение:

\(192 = \frac{{240x}}{{x}} - 4x + 8 \cdot \frac{{240}}{{x}} - 32\).

Умножим все части уравнения на \( x \) для избавления от дробей:

\(192x = 240x - 4x^2 + 8 \cdot 240 - 32x\).

Распространяем и собираем все члены уравнения:

\(0 = 4x^2 - 40x + 8 \cdot 240 - 192x\).

\(0 = 4x^2 - 232x + 8 \cdot 240\).

\(0 = x^2 - 58x + 480\).

Теперь решим это квадратное уравнение.

Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\),

где \( a = 1 \), \( b = -58 \), и \( c = 480 \).

Вычислим значение дискриминанта:

\(D = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 480\).

\(D = 3364 - 1920\).

\(D = 1444\).

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).

Вставляем значения \( a \), \( b \), и \( D \):

\(x = \frac{{58 \pm \sqrt{1444}}}{{2}}\).

Упрощаем:

\(x = \frac{{58 \pm 38}}{{2}}\).

Теперь найдем два возможных значения \( x \):

1. \( x = \frac{{58 + 38}}{{2}} = \frac{{96}}{{2}} = 48\).
2. \( x = \frac{{58 - 38}}{{2}} = \frac{{20}}{{2}} = 10\).

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( x \): 48 и 10.

Ответ: второй насос может перекачивать 48 литров воды за минуту или 10 литров воды за минуту.