Сколько максимально пустых клеток могло получиться на доске 4x4 после того, как каждый жук в панике перебежал в одну

Morskoy_Plyazh_6254

19

Давайте разберем эту задачу step-by-step.

У нас есть доска размером 4x4, всего 16 клеток. После того, как каждый жук перебежал в одну из соседних клеток, мы должны определить, сколько максимально пустых клеток осталось.

Мы можем рассмотреть несколько сценариев. Начнем с самого худшего случая, когда каждый жук бежит на соседнюю пустую клетку:

- В начале каждый жук стоит на своей клетке, это 16 занятых клеток.
- Каждый жук может перебежать в одну из четырех соседних клеток: вверх, вниз, влево или вправо.
- Всего у каждого жука есть 4 варианта направления движения.
- Мы имеем 16 жуков на 16 клетках.
- Значит, всего возможных вариантов, куда мог бы перебежать каждый жук составляет \(4^{16} = 4294967296\).

Теперь давайте посмотрим, сколько перекрытий между возможными позициями жуков возможно:

- Если два жука стоят на одной клетке, то они занимают только одну клетку.
- Если два жука находятся на соседних клетках, они закрывают только одну клетку.
- Если два жука находятся на расстоянии 2 клеток друг от друга, они закрывают две клетки.
- И так далее.

Мы видим, что количество перекрытий между возможными позициями жуков будет меньше числа возможных вариантов, куда могли бы перебежать жуки.

Максимальное количество пустых клеток на доске будет разницей между общим числом клеток на доске и числом перекрытий между позициями жуков:

\[16 \times 16 - \text{{число перекрытий}}\]

Точное число перекрытий является сложной математической задачей, и требует более глубокого анализа. Однако, чтобы найти точное число, мы можем использовать метод комбинаторики и принцип включений-исключений, что выходит за рамки этого ответа.

Таким образом, максимальное количество пустых клеток на доске 4x4 после того, как каждый жук перебежал в одну из соседних клеток, будет равно:

\[16 \times 16 - \text{{число перекрытий}}\]

Please note that the exact number of overlaps between possible positions of the bugs requires a more in-depth analysis. The precise calculation involves combinatorial methods and the principle of inclusion-exclusion, which goes beyond the scope of this response.