Сколько минимальное количество выступлений могло быть, если все философы принимали участие в обсуждении докладов

Kirill

67

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать некоторые математические концепции и методы.

Пусть \(x\) - количество философов, выступавших только один раз, а \(y\) - количество философов, выступавших дважды.

Тогда общее количество выступлений можно выразить с помощью следующего выражения:

\(2y + x\)

Также нам дано, что при делении на 2, 3, 7 и 9 получаем остаток 1. Это означает, что общее количество выступлений должно удовлетворять следующим условиям:

\(2y + x \equiv 1 \pmod{2}\)

\(2y + x \equiv 1 \pmod{3}\)

\(2y + x \equiv 1 \pmod{7}\)

\(2y + x \equiv 1 \pmod{9}\)

Для решения системы уравнений с остатками, мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Применяя данную теорему, мы можем получить набор уравнений для решения:

\(2y + x = 1 + 2k_1\)

\(2y + x = 1 + 3k_2\)

\(2y + x = 1 + 7k_3\)

\(2y + x = 1 + 9k_4\)

Где \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\) и \(k_4\) являются целыми числами.

Теперь мы можем решить данную систему уравнений. Найдем одно из возможных решений:

\(2y + x = 1 + 2k_1\)

\(2y + x = 1 + 3k_2\)

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной \(x\):

\(2y + x - (2y + x) = (1 + 3k_2) - (1 + 2k_1)\)

Simplifying:

\(0 = (1 + 3k_2) - (1 + 2k_1)\)

Упростим полученное уравнение:

\(0 = 3k_2 - 2k_1\)

Таким образом, мы видим, что значение \(k_2 = 2k_1\). Это означает, что \(k_2\) является кратным двум, а значит, \(2y + x = 1 + 3k_2\) также является кратным двум.

Если мы рассмотрим значение \(2y + x\) по модулю 2, то увидим, что \(2y + x = 1 + 3k_2\) будет иметь остаток 1, только если \(k_2\) нечетное значение. Из этого следует, что нам нужно выбрать нечетное значение \(k_1\).

Рассмотрим \(k_1 = 1\) и \(k_2 = 2\). В этом случае получим:

\(2y + x = 1 + 2\)
\(2y + x = 1 + 6\)
\(2y + x = 1 + 14\)
\(2y + x = 1 + 18\)

Решим каждое из уравнений:

1. \(2y + x = 3\)
Возможные значения для \(x\) и \(y\) - (1, 1), (2, 0)

2. \(2y + x = 7\)
Возможные значения для \(x\) и \(y\) - (1, 3), (3, 2), (5, 1), (7, 0)

3. \(2y + x = 15\)
Возможные значения для \(x\) и \(y\) - (1, 7), (3, 6), (5, 5), (7, 4), (9, 3), (11, 2), (13, 1), (15, 0)

4. \(2y + x = 19\)
Возможные значения для \(x\) и \(y\) - (1, 9), (3, 8), (5, 7), (7, 6), (9, 5), (11, 4), (13, 3), (15, 2), (17, 1), (19, 0)

Таким образом, минимальное количество выступлений в данной задаче равно 3. Это соответствует первому уравнению \(2y + x = 3\), где \(x = 1\) и \(y = 1\).