Сколько минимальное количество выступлений могло быть, если все философы принимали участие в обсуждении докладов

Kirill

67

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать некоторые математические концепции и методы.

Пусть $x$ - количество философов, выступавших только один раз, а $y$ - количество философов, выступавших дважды.

Тогда общее количество выступлений можно выразить с помощью следующего выражения:

$2y+x$

Также нам дано, что при делении на 2, 3, 7 и 9 получаем остаток 1. Это означает, что общее количество выступлений должно удовлетворять следующим условиям:

$2y+x\equiv 1(\mathrm{mod}2)$

$2y+x\equiv 1(\mathrm{mod}3)$

$2y+x\equiv 1(\mathrm{mod}7)$

$2y+x\equiv 1(\mathrm{mod}9)$

Для решения системы уравнений с остатками, мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Применяя данную теорему, мы можем получить набор уравнений для решения:

$2y+x=1+2k_1$

$2y+x=1+3k_2$

$2y+x=1+7k_3$

$2y+x=1+9k_4$

Где $k_1$, $k_2$, $k_3$ и $k_4$ являются целыми числами.

Теперь мы можем решить данную систему уравнений. Найдем одно из возможных решений:

$2y+x=1+2k_1$

$2y+x=1+3k_2$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной $x$:

$2y+x-(2y+x)=(1+3k_2)-(1+2k_1)$

Simplifying:

$0=(1+3k_2)-(1+2k_1)$

Упростим полученное уравнение:

$0=3k_2-2k_1$

Таким образом, мы видим, что значение $k_2=2k_1$. Это означает, что $k_2$ является кратным двум, а значит, $2y+x=1+3k_2$ также является кратным двум.

Если мы рассмотрим значение $2y+x$ по модулю 2, то увидим, что $2y+x=1+3k_2$ будет иметь остаток 1, только если $k_2$ нечетное значение. Из этого следует, что нам нужно выбрать нечетное значение $k_1$.

Рассмотрим $k_1=1$ и $k_2=2$. В этом случае получим:

$2y+x=1+2$
$2y+x=1+6$
$2y+x=1+14$
$2y+x=1+18$

Решим каждое из уравнений:

1. $2y+x=3$
Возможные значения для $x$ и $y$ - (1, 1), (2, 0)

2. $2y+x=7$
Возможные значения для $x$ и $y$ - (1, 3), (3, 2), (5, 1), (7, 0)

3. $2y+x=15$
Возможные значения для $x$ и $y$ - (1, 7), (3, 6), (5, 5), (7, 4), (9, 3), (11, 2), (13, 1), (15, 0)

4. $2y+x=19$
Возможные значения для $x$ и $y$ - (1, 9), (3, 8), (5, 7), (7, 6), (9, 5), (11, 4), (13, 3), (15, 2), (17, 1), (19, 0)

Таким образом, минимальное количество выступлений в данной задаче равно 3. Это соответствует первому уравнению $2y+x=3$, где $x=1$ и $y=1$.