Сколько наименьшее количество орехов может быть в квадрате 30×30, если в каждой клетке не более одного ореха, в любом

Винтик

17

Для решения данной задачи, нам необходимо учесть два условия:

1. В каждой клетке квадрата 30×30 не может быть более одного ореха.
2. В каждом прямоугольнике 1×2 должен присутствовать хотя бы один орех.
3. В каждом прямоугольнике 1×6 должны присутствовать две соседние клетки с орехами.

Давайте рассмотрим каждое условие по очереди:

1. Учитывая, что в каждой клетке не может быть более одного ореха, максимальное количество орехов в квадрате 30×30 равно \(30 \times 30 = 900\) орехов.

2. Поскольку в каждом прямоугольнике 1×2 должен быть хотя бы один орех, количество орехов на всех прямоугольниках 1×2 будет минимально равно количеству этих прямоугольников. В квадрате 30×30 есть 29 горизонтальных прямоугольников 1×2 и 29 вертикальных прямоугольников 1×2, итого \(29 + 29 = 58\) орехов.

3. Орехи в каждом прямоугольнике 1×6 должны быть расположены таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике были две соседние клетки с орехами. Мы можем расположить эти орехи в каждом прямоугольнике следующим образом:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Орех 1} & \text{Орех 2} & \text{Пусто} & \text{Орех 1} & \text{Орех 2} & \text{Пусто} \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, в каждом прямоугольнике 1×6 будет два ореха. В квадрате 30×30 есть 25 горизонтальных прямоугольников 1×6 и 25 вертикальных прямоугольников 1×6, итого \(25 + 25 = 50\) орехов.

Теперь найдем наименьшее количество орехов, удовлетворяющих всем условиям. Поскольку каждый прямоугольник 1×2 и 1×6 содержит ровно указанное количество орехов, то общее количество орехов равно сумме орехов в каждом прямоугольнике:

\[58 + 50 = 108\]

Таким образом, наименьшее количество орехов, которое может быть в квадрате 30×30 с указанными условиями, равно 108.