Сколько натуральных чисел N, превышающих 900, таких что среди чисел 3N, N - 900, N + 15, 2N ровно два являются

Пугающая_Змея

39

Давайте разберем эту задачу пошагово:

1. Дадано, что число N превышает 900. Следовательно, N > 900.

2. У нас есть четыре числа, и среди них ровно два должны быть четырехзначными. Давайте рассмотрим каждое из этих чисел по отдельности и проверим, является ли оно четырехзначным:

- 3N: Чтобы число 3N было четырехзначным, оно должно превышать 999 и быть не больше 9999. Таким образом, имеем неравенство 999 < 3N ≤ 9999.

- N - 900: Чтобы число N - 900 было четырехзначным, оно должно превышать 999 и быть не больше 9999. Таким образом, имеем неравенство 999 < N - 900 ≤ 9999.

- N + 15: Дано, что число N + 15 не является четырехзначным.

- 2N: Чтобы число 2N было четырехзначным, оно должно превышать 999 и быть не больше 9999. Таким образом, имеем неравенство 999 < 2N ≤ 9999.

3. Теперь объединим все полученные условия и посмотрим, каков диапазон значений числа N:

999 < 3N ≤ 9999,

999 < N - 900 ≤ 9999,

N + 15 не является четырехзначным,

999 < 2N ≤ 9999.

4. Начнем с первого неравенства: 999 < 3N ≤ 9999. Разделим оба неравенства на 3, получим 333.33 < N ≤ 3333. Значит, N должно лежать в интервале (333.33, 3333].

5. Перейдем ко второму неравенству: 999 < N - 900 ≤ 9999. Прибавим 900 ко всем частям неравенства: 1899 < N ≤ 10899. Таким образом, N должно принадлежать интервалу (1899, 10899].

6. Третье условие говорит о том, что N + 15 не является четырехзначным числом. Это означает, что N + 15 должно быть меньше 1000. После вычитания 15 из обеих частей неравенства, получим N < 985.

7. Начнем с последнего неравенства: 999 < 2N ≤ 9999. Разделим оба неравенства на 2, получим 499.5 < N ≤ 4999.5. Значит, N должно лежать в интервале (499.5, 4999.5].

8. Теперь объединим все интервалы из полученных условий: (333.33, 3333] ∩ (1899, 10899] ∩ N < 985 ∩ (499.5, 4999.5]. Найдем пересечение всех этих интервалов.

Если мы построим график всех этих интервалов на числовой оси, мы увидим, что пересечением всех этих интервалов будет (1899, 3333].

9. Поэтому, количество натуральных чисел N, удовлетворяющих всем условиям задачи и превышающих 900, равно количеству чисел, которые можно выбрать из интервала (1899, 3333].
Чтобы найти количество чисел в этом интервале, вычтем его нижнюю границу из верхней границы и добавим единицу: 3333 - 1899 + 1 = 1435.

10. Итак, ответ на задачу: количество натуральных чисел N, превышающих 900, таких что среди чисел 3N, N - 900, N + 15, 2N ровно два являются четырехзначными, равно 1435.