Сколько натуральных чисел существует, у которых запись в шестнадцатеричной системе имеет ровно три значащие цифры

Искандер

26

Для решения данной задачи нам необходимо использовать концепцию значащих цифр в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная система счисления использует 16 символов: цифры от 0 до 9 и буквы A до F для представления чисел. Числа считаются значащими, если они не равны 0. В данной задаче нам нужно найти количество натуральных чисел, у которых имеется ровно 3 значащие цифры в шестнадцатеричной системе.

Аналогично, восьмеричная система счисления использует 8 символов: цифры от 0 до 7. Числа также считаются значащими, если они не равны 0. В данной задаче нам нужно найти количество натуральных чисел, у которых имеется ровно 4 значащие цифры в восьмеричной системе.

Для решения задачи мы можем использовать принцип умножения. Мы будем искать количество чисел с тремя значащими цифрами в шестнадцатеричной системе и умножать на количество чисел с четырьмя значащими цифрами в восьмеричной системе.

Сначала найдем количество чисел с тремя значащими цифрами в шестнадцатеричной системе. У нас есть 16 символов, и каждой значащей цифре может соответствовать любой из них, кроме 0. Первая цифра не может быть нулем, поэтому у нас есть 15 вариантов. Для оставшихся двух цифр у нас также есть 15 вариантов. Таким образом, общее количество чисел с тремя значащими цифрами в шестнадцатеричной системе равно \(15 \times 15 = 225\).

Затем найдем количество чисел с четырьмя значащими цифрами в восьмеричной системе. У нас есть 8 возможных цифр, и каждой значащей цифре может соответствовать любая из них, кроме 0. Первая цифра не может быть нулем, поэтому у нас есть 7 вариантов. Для оставшихся трех цифр у нас также есть 7 вариантов. Таким образом, общее количество чисел с четырьмя значащими цифрами в восьмеричной системе равно \(7 \times 7 \times 7 = 343\).

Наконец, мы можем найти итоговый ответ, умножив количество чисел с тремя значащими цифрами в шестнадцатеричной системе на количество чисел с четырьмя значащими цифрами в восьмеричной системе. Общее количество чисел будет равно \(225 \times 343 = 77175\).

Таким образом, ответ на задачу составляет 77175 в десятичной системе.