Сколько нулей будет в конце при перемножении натуральных чисел от 5 до 15 включительно?

Дарья

57

Чтобы решить эту задачу, нам нужно разложить каждое из чисел от 5 до 15 на простые множители и посчитать количество множителей \(2\) и \(5\). Так как каждый ноль в конце числа образуется только при перемножении множителей \(2\) и \(5\), количество нулей будет определяться минимальным количеством данных множителей.

Разложим каждое из чисел на простые множители:

\[
5 = 5 \cdot 1 = 2^0 \cdot 5^1
\]
\[
6 = 2 \cdot 3 = 2^1 \cdot 3^1
\]
\[
7 = 7 \cdot 1 = 2^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1
\]
\[
8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \cdot 5^0
\]
\[
9 = 3 \cdot 3 = 2^0 \cdot 5^0 \cdot 3^2
\]
\[
10 = 2 \cdot 5 = 2^1 \cdot 5^1
\]
\[
11 = 11 \cdot 1 = 2^0 \cdot 5^0 \cdot 11^1
\]
\[
12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 5^0 \cdot 3^1
\]
\[
13 = 13 \cdot 1 = 2^0 \cdot 5^0 \cdot 13^1
\]
\[
14 = 2 \cdot 7 = 2^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1
\]
\[
15 = 3 \cdot 5 = 2^0 \cdot 5^1 \cdot 3^1
\]

Теперь посчитаем количество множителей \(2\) и \(5\) в каждом числе:

\[
5: 2^0 \cdot 5^1 \quad (0 \text{ двоек}, 1 \text{ пять})
\]
\[
6: 2^1 \cdot 3^1 \quad (1 \text{ двойка}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
7: 2^0 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \quad (0 \text{ двоек}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
8: 2^3 \cdot 5^0 \quad (3 \text{ двойки}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
9: 2^0 \cdot 5^0 \cdot 3^2 \quad (0 \text{ двоек}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
10: 2^1 \cdot 5^1 \quad (1 \text{ двойка}, 1 \text{ пять})
\]
\[
11: 2^0 \cdot 5^0 \cdot 11^1 \quad (0 \text{ двоек}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
12: 2^2 \cdot 5^0 \cdot 3^1 \quad (2 \text{ двойки}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
13: 2^0 \cdot 5^0 \cdot 13^1 \quad (0 \text{ двоек}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
14: 2^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1 \quad (1 \text{ двойка}, 0 \text{ пятёрок})
\]
\[
15: 2^0 \cdot 5^1 \cdot 3^1 \quad (0 \text{ двоек}, 1 \text{ пять})
\]

Теперь посчитаем общее количество множителей \(2\) и \(5\) в каждом числе. Мы видим, что количество множителей \(2\) больше, чем количество множителей \(5\) в каждом числе, поэтому нам точно хватит пятёрок для образования нулей.

Общее количество нулей в конце будет зависеть от наименьшего количества множителей \(5\) в числе от 5 до 15.

Количество пятёрок:

\[
5: 1
\]
\[
6: 0
\]
\[
7: 0
\]
\[
8: 0
\]
\[
9: 0
\]
\[
10: 1
\]
\[
11: 0
\]
\[
12: 0
\]
\[
13: 0
\]
\[
14: 0
\]
\[
15: 1
\]

Суммируем количество пятёрок: \(1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3\).

Таким образом, при перемножении натуральных чисел от 5 до 15 включительно, в конце получится \(3\) нуля.