Сколько нулей на конце у произведения всех натуральных чисел от 1 до 732?

Zvezdopad

6

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти количество нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 732. Для этого мы должны проанализировать, какие множители в этом произведении дают нули на конце.

Ноль на конце числа означает, что число делится на 10 без остатка. Чтобы число делилось на 10 без остатка, оно должно быть произведением чисел 2 и 5. Таким образом, нам нужно найти, сколько раз встречаются числа 2 и 5 во всех множителях от 1 до 732.

Давайте посмотрим, сколько раз встречается число 2. Поскольку каждое второе число является четным, в промежутке от 1 до 732 содержится \( \frac{732}{2} = 366 \) чисел, делящихся на 2 без остатка.

Теперь посмотрим, сколько раз встречается число 5. Очевидно, что чисел, делящихся на 5 без остатка, меньше, чем чисел, делящихся на 2 без остатка. Это связано с тем, что каждое пятое число является кратным 5. В промежутке от 1 до 732 мы можем найти количество таких чисел, используя деление 732 на 5:

\( \frac{732}{5} = 146 \).

Теперь у нас есть информация о количестве раз, которое встречаются числа 2 и 5.

Вернемся к исходному вопросу – сколько нулей на конце у произведения всех натуральных чисел от 1 до 732?

Мы знаем, что для каждого нуля на конце нужно, чтобы число делилось на 10 без остатка, то есть содержало как минимум одну пару множителей 2 и 5. Очевидно, что пятерки будут являться более редкими множителями, и их количество будет ограничено количеством пятидесяток (пятое число, которое дает ноль на конце).

Таким образом, каждая пара множителей 2 и 5 является множителем, дающим ноль на конце. Общее количество нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 732 будет равно минимальному из количеств пятерок и двоек:

\( \min(146, 366) = 146 \).

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 1 до 732 содержит 146 нулей на конце.