Сколько нулей присутствует в записи значения арифметического выражения 16^150-4^75+2^151-31 в системе счисления

Misticheskaya_Feniks

4

Давайте решим данную задачу шаг за шагом для большей ясности.

Первым шагом, давайте вычислим каждый из членов данного арифметического выражения:

1. Возведение числа 16 в степень 150: \(16^{150}\)
Мы знаем, что \(16 = 2^4\), поэтому это можно записать как \(2^{4 \cdot 150}\).
Используем свойство показателя степени: \(a^{mn} = (a^m)^n\), чтобы получить \((2^4)^{150} = 2^{4 \cdot 150}\).
Теперь мы можем умножить показатели степени: \(2^{4 \cdot 150} = 2^{600}\).

2. Возведение числа 4 в степень 75: \(4^{75}\)
Мы знаем, что \(4 = 2^2\), поэтому это можно записать как \(2^{2 \cdot 75}\).
Используем свойство показателя степени: \(a^{mn} = (a^m)^n\), чтобы получить \((2^2)^{75} = 2^{2 \cdot 75}\).
Теперь мы можем умножить показатели степени: \(2^{2 \cdot 75} = 2^{150}\).

3. Возведение числа 2 в степень 151: \(2^{151}\)

Объединим все выражения и вычислим заданное арифметическое выражение:

\[16^{150} - 4^{75} + 2^{151} - 31\]

\[= 2^{600} - 2^{150} + 2^{151} - 31\]

Чтобы найти количество нулей в записи числа в системе счисления с основанием 4, мы должны разложить число на множители основания и понять, сколько раз в разложении встречается множитель 0.

4. Преобразуем каждое из чисел, используя основание 4:

\[
\begin{align*}
2^{600} &= (2^2)^{300} = 4^{300} \\
2^{150} &= (2^2)^{75} = 4^{75} \\
2^{151} &= 2 \cdot (2^2)^{75} = 2 \cdot 4^{75} \\
31 &= 3 \cdot 4^0 + 1 \cdot 4^1 = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 4 = 7
\end{align*}
\]

5. Теперь можем вычислить заданное арифметическое выражение, используя разложение на множители основания 4:

\[
4^{300} - 4^{75} + 2 \cdot 4^{75} - 7
\]

6. Объединяем одинаковые множители:

\[
4^{300} - 4^{75} + 4^{75} - 7 = 4^{300} - 7
\]

Теперь мы можем увидеть, что в данном арифметическом выражении нет множителей 0, поскольку 7 не содержит 0. Значит, количество нулей в записи данного арифметического выражения в системе счисления с основанием 4 равно 0.