Сколько нулей в числе, когда записывается число 4^230 + 8^120 - 2^150 в двоичной системе?

Таисия

36

Для решения этой задачи, нам нужно записать число \(4^{230} + 8^{120} - 2^{150}\) в двоичной системе и посчитать количество нулей.

Давайте начнём с расчета каждого слагаемого по отдельности.

Первое слагаемое: \(4^{230}\).
Чтобы узнать, как записать это число в двоичной системе, нам нужно последовательно разделить его на 2 до тех пор, пока не получим 0. Полученные остатки будут цифрами в двоичной записи числа. Давайте выполним эти деления:

\[
\begin{align*}
4^{230} &= 2^{2 \cdot 230} \\
&= 2^{460} \\
&= \ldots \text{(далее воспользуемся методом деления на 2)} \\
&= 1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + \ldots + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0
\end{align*}
\]

Таким образом, первое слагаемое будет иметь двоичную запись с 9 единицами и последующими нулями.

Подобным образом, проделаем вычисления для второго слагаемого: \(8^{120}\).

\[
\begin{align*}
8^{120} &= (2^3)^{120} \\
&= 2^{3 \cdot 120} \\
&= 2^{360} \\
&= \ldots \text{(проведем метод деления на 2)} \\
&= 1 \cdot 2^{8} + 0 \cdot 2^7 + \ldots + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0
\end{align*}
\]

Таким образом, второе слагаемое будет иметь двоичную запись с 8 единицами и последующими нулями.

Произведем вычисления для третьего слагаемого: \(2^{150}\).

\[
\begin{align*}
2^{150} &= 1 \cdot 2^{150} \\
&= \ldots \text{(проведем метод деления на 2)} \\
&= 1 \cdot 2^{7} + 0 \cdot 2^6 + \ldots + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0
\end{align*}
\]

Таким образом, третье слагаемое будет иметь двоичную запись с 7 единицами и последующими нулями.

Теперь сложим все три слагаемых:

\[
\begin{align*}
4^{230} + 8^{120} - 2^{150} &= (1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + \ldots + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0) \\
&+ (1 \cdot 2^8 + 0 \cdot 2^7 + \ldots + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0) \\
&- (1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + \ldots + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0) \\
&= \ldots \text{(выполним сложение поэлементно)} \\
&= (1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + \ldots + 1 \cdot 2^2) \\
&+ (1 \cdot 2^8 + 0 \cdot 2^7 + \ldots + 1 \cdot 2^3) \\
&- (1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + \ldots + 1 \cdot 2^1) \\
&= \ldots \text{(подсчитаем количество нулей)}
\end{align*}
\]

При выполнении сложения поэлементно, заметим, что все единицы будут оставаться единицами, а нули будут оставаться нулями. Поэтому, чтобы узнать количество нулей в итоговой сумме, нам необходимо посчитать разницу между количеством нулей и количеством единиц в сумме чисел.

В итоге, количество нулей будет равно:
\[
(9 + 8 - 7) = 10.
\]

Таким образом, в числе \(4^{230} + 8^{120} - 2^{150}\) в двоичной системе содержится 10 нулей.