Сколько одинаковых стаканов в форме цилиндра, радиус которых в 3 раза меньше радиуса полусферы, нужно для переливания

Elizaveta

20

Эта задача связана с объёмами и формами геометрических тел - цилиндра и полусферы. Чтобы решить её, давайте разберёмся сначала с объёмом полусферы и цилиндра.

Объём полусферы можно вычислить по формуле:
\[V_{\text{полусферы}} = \frac {2}{3}\pi R^3\]
где \(R\) - радиус полусферы.

С другой стороны, объём цилиндра равен:
\[V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h\]
где \(r\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

В данной задаче у нас есть условие, что радиус цилиндра в 3 раза меньше радиуса полусферы, поэтому \(r = \frac {R}{3}\).

Теперь мы готовы решить задачу. Нас интересует количество одинаковых стаканов в форме цилиндра, которые нужно для переливания всей воды из полусферы.

Предположим, что мы переливаем воду из полусферы в стаканы, поэтому общий объём всех стаканов должен быть равен объёму полусферы.

\[V_{\text{полусферы}} = V_{\text{цилиндра}} \times \text{количество стаканов}\]

Теперь давайте подставим значения объёма и радиуса цилиндра в формулу:

\[\frac {2}{3}\pi R^3 = \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 h \times \text{количество стаканов}\]

Далее упростим выражение:

\[\frac {2}{3}\pi R^3 = \pi \frac{R^2}{9} h \times \text{количество стаканов}\]

Сокращаем общие множители:

\[\frac {2}{3}\pi R = \pi \frac{R}{9} h \times \text{количество стаканов}\]

Исключаем множители \(\pi\) и \(R\):

\[\frac {2}{3} = \frac {1}{9} h \times \text{количество стаканов}\]

Теперь решим это уравнение относительно количества стаканов:

\[\text{количество стаканов} = \frac {\frac {2}{3}}{\frac {1}{9} h}\]

Заметим, что \(\frac {2}{3} \times \frac {1}{\frac {1}{9} h} = 6h\).

Таким образом, нам потребуется \(6h\) одинаковых стаканов, чтобы перелить всю воду из полусферы в цилиндры. Коэффициент 6 связан с соотношением объёмов полусферы и цилиндра, а переменная \(h\) - высота цилиндра.