Сколько одинаковых стаканов в форме цилиндра, радиус которых в 3 раза меньше радиуса полусферы, нужно для переливания

Elizaveta

20

Эта задача связана с объёмами и формами геометрических тел - цилиндра и полусферы. Чтобы решить её, давайте разберёмся сначала с объёмом полусферы и цилиндра.

Объём полусферы можно вычислить по формуле:
$$V_{\text{полусферы}}=\frac{2}{3}\pi R^3$$
где $R$ - радиус полусферы.

С другой стороны, объём цилиндра равен:
$$V_{\text{цилиндра}}=\pi r^{2}h$$
где $r$ - радиус цилиндра, $h$ - высота цилиндра.

В данной задаче у нас есть условие, что радиус цилиндра в 3 раза меньше радиуса полусферы, поэтому $r=\frac{R}{3}$.

Теперь мы готовы решить задачу. Нас интересует количество одинаковых стаканов в форме цилиндра, которые нужно для переливания всей воды из полусферы.

Предположим, что мы переливаем воду из полусферы в стаканы, поэтому общий объём всех стаканов должен быть равен объёму полусферы.

$$V_{\text{полусферы}}=V_{\text{цилиндра}}\times \text{количество стаканов}$$

Теперь давайте подставим значения объёма и радиуса цилиндра в формулу:

$$\frac{2}{3}\pi R^3=\pi {\left(\frac{R}{3}\right)}^{2}h\times \text{количество стаканов}$$

Далее упростим выражение:

$$\frac{2}{3}\pi R^3=\pi \frac{R^2}{9}h\times \text{количество стаканов}$$

Сокращаем общие множители:

$$\frac{2}{3}\pi R=\pi \frac{R}{9}h\times \text{количество стаканов}$$

Исключаем множители $\pi$ и $R$:

$$\frac{2}{3}=\frac{1}{9}h\times \text{количество стаканов}$$

Теперь решим это уравнение относительно количества стаканов:

$$\text{количество стаканов}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}h}$$

Заметим, что $\frac{2}{3}\times \frac{1}{\frac{1}{9}h}=6h$.

Таким образом, нам потребуется $6h$ одинаковых стаканов, чтобы перелить всю воду из полусферы в цилиндры. Коэффициент 6 связан с соотношением объёмов полусферы и цилиндра, а переменная $h$ - высота цилиндра.