Каков угол между ребром ad и гранью в пирамиде, если известны координаты вершин a(10,2,-1), d(4,-5,-3) и грань (8,3,5)?

Золотой_Рай_2179

59

Чтобы найти угол между ребром ad и гранью в пирамиде, мы можем использовать свойства скалярного произведения векторов. Сначала найдем вектор, соединяющий вершины a и d, а затем вычислим скалярное произведение этого вектора и вектора, описывающего грань.

1. Найдем вектор ad:
Пусть \(\vec{a}\) - вектор, задающий начальную точку a, и \(\vec{d}\) - вектор, задающий конечную точку d.
Тогда вектор \(\vec{ad}\) можно найти, вычислив разность векторов \(\vec{d} - \vec{a}\):
\(\vec{ad} = \vec{d} - \vec{a} = (4, -5, -3) - (10, 2, -1) = (-6, -7, -2)\).

2. Теперь найдем вектор, описывающий грань:
Пусть \(\vec{g}\) - вектор, описывающий грань.
Чтобы найти этот вектор, возьмем две точки на грани (в данном случае векторы \(\vec{g_{1}}\) и \(\vec{g_{2}}\)) и найдем их разность:
\(\vec{g} = \vec{g_{2}} - \vec{g_{1}} = (8, 3, 5) - (10, 2, -1) = (-2, 1, 6)\).

3. Теперь найдем скалярное произведение векторов \(\vec{ad}\) и \(\vec{g}\):
\(\vec{ad} \cdot \vec{g} = (-6, -7, -2) \cdot (-2, 1, 6) = (-6 \cdot -2) + (-7 \cdot 1) + (-2 \cdot 6) = 12 - 7 - 12 = -7\).

4. Наконец, найдем угол между векторами, используя формулу для скалярного произведения векторов \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta \), где \( \theta \) - искомый угол:
Так как мы знаем, что \( \vec{ad} \cdot \vec{g} = |\vec{ad}| \cdot |\vec{g}| \cdot \cos\theta \), подставим полученное значение скалярного произведения и найдем угол:
\(-7 = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 6^2} \cdot \cos\theta\).
\(-7 = \sqrt{49 + 36 + 4} \cdot \sqrt{4 + 1 + 36} \cdot \cos\theta\).
\(-7 = \sqrt{89} \cdot \sqrt{41} \cdot \cos\theta\).
Теперь найдем значение угла \(\theta\):
\(\cos\theta = -\frac{7}{\sqrt{89} \cdot \sqrt{41}}\).
\(\theta = \arccos\left(-\frac{7}{\sqrt{89} \cdot \sqrt{41}}\right)\).

Это значение угла \(\theta\) дает нам ответ на задачу. Нам остается только вычислить этот угол, используя калькулятор или математическое программное обеспечение, так как эти вычисления сложны для ручного выполнения. Высчитывать сейчас это значение нет необходимости, однако формула для определения угла дана в полной точности.