Сколько отрезков можно получить, если на плоскости отмечено 20 точек?

Рыжик

40

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику. Давайте разберемся, сколько отрезков можно получить, используя данные 20 точек.

Для начала, представьте, что у вас есть только две точки на плоскости. Между ними можно провести один отрезок. Теперь добавим третью точку. Вы можете провести еще два отрезка: один между первой и второй точкой, и другой между второй и третьей точкой. Когда у нас есть 4 точки, мы уже можем провести 4 отрезка: между каждой парой точек.

Следующие точки также будут добавлять новые отрезки. Таким образом, каждая новая точка создает отдельный отрезок со всеми предыдущими точками, а также дополнительные отрезки в сочетании с остальными точками, которые уже были проведены.

Давайте рассмотрим этот пример на практике:

- Первая точка: 0 отрезков (так как нет других точек)
- Вторая точка: 1 отрезок (можно провести отрезок между первой и второй точкой)
- Третья точка: 3 отрезка (отрезок между первой и второй точкой, отрезок между второй и третьей точкой, отрезок между первой и третьей точкой)
- Четвертая точка: 6 отрезков (отрезок между первой и второй точкой, отрезок между второй и третьей точкой, отрезок между третьей и четвертой точкой, отрезок между первой и третьей точкой, отрезок между второй и четвертой точкой, отрезок между первой и четвертой точкой)

Теперь, будем продолжать этот процесс для остальных точек и подсчитывать отрезки:

- Пятая точка: 10 отрезков
- Шестая точка: 15 отрезков
- Седьмая точка: 21 отрезок
- Восьмая точка: 28 отрезков
- Девятая точка: 36 отрезков
- Десятая точка: 45 отрезков

Мы видим, что с увеличением количества точек, количество отрезков также увеличивается. Паттерн может быть заметен: количество отрезков, которые можно получить при помощи N точек, равно сумме первых N натуральных чисел.

Воспользуемся формулой для суммы первых N натуральных чисел: \(S = \frac{{N \cdot (N + 1)}}{2}\)

Подставив вместо N значение 20, получим:

\(S = \frac{{20 \cdot (20 + 1)}}{2} = \frac{{20 \cdot 21}}{2} = 10 \cdot 21 = 210\)

Таким образом, вы можете получить 210 отрезков, если на плоскости отмечено 20 точек.