Сколько отрезков образуется из 12 отмеченных точек на прямой?

Давид_2994

39

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся в том, как образуются отрезки между отмеченными точками на прямой.

Итак, у нас есть 12 отмеченных точек на прямой. Каждая отмеченная точка может быть началом или концом отрезка. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

1. Если мы выбираем одну из 12 точек в качестве начала отрезка, то остается 11 точек, которые могут быть его концами. Это дает нам 12 отрезков, начинающихся от каждой из 12 точек.

2. Но что если мы выбираем две точки в качестве начала и конца отрезка? Заметим, что порядок выбранных точек не имеет значения, так как отрезок между точкой A и точкой B будет таким же, как и отрезок между точкой B и точкой A. Таким образом, мы можем выбрать две точки из 12 отмеченных точек. Это можно сделать по формуле сочетаний C(n, k), где n - общее количество элементов (12 в данном случае), а k - количество элементов, которые необходимо выбрать для сочетания (2 в данном случае). Формулу для сочетания можно записать следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Подставляя значения, получаем:

\[C(12, 2) = \frac{{12!}}{{2! \cdot (12-2)!}} = \frac{{12!}}{{2! \cdot 10!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10!}}{{2! \cdot 10!}} = \frac{{12 \cdot 11}}{{2}} = 66\]

Таким образом, у нас есть 66 отрезков, которые можно образовать, выбирая две точки из 12 отмеченных.

3. По аналогии можно рассмотреть случай выбора трех точек и так далее.

Итак, суммируя все отрезки, полученные в каждом случае, мы получаем общее количество отрезков:

\[12 + 66 + 220 + 495 + 792 + 924 + 792 + 495 + 220 + 66 + 12 = 4095\]

Таким образом, из 12 отмеченных точек на прямой образуется 4095 отрезков.