Сколько подданных было у правителя, который решил отличать их не по именам, а по цвету зубов? Он оставил все свои

Yabloko

22

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать геометрическую прогрессию.

Пусть общее количество подданных будет обозначено буквой \(N\). Заметим, что в самом высшем слое (у правителя) есть только один человек, у которого все зубы черные. Далее, в следующем слое будет уже 2 человека с черными зубами, затем 4 человека, 8 человек и т.д.
Таким образом, на каждом слое количество людей удваивается.

Из условия задачи нам известно, что в самом низшем слое находится только один человек с одним белым зубом. Тогда, чтобы узнать общее количество подданных, нужно просуммировать количество людей на каждом слое.

Используем формулу суммы геометрической прогрессии:
\[S_n = \frac{{a_1(q^n - 1)}}{{q - 1}}\]

где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(q\) - знаменатель прогрессии.

В данной задаче первый член прогрессии \(a_1\) равен 1 (так как только один человек на последнем слое имеет белый зуб), а знаменатель \(q\) равен 2 (так как количество людей на каждом слое удваивается).

Подставим значения в формулу:
\[N = \frac{{1(2^n - 1)}}{{2 - 1}}\]

Так как в задаче упоминается, что у правителя было 32 зуба, нужно найти такое значение \(n\), при котором сумма будет равна 32:
\[32 = \frac{{1(2^n - 1)}}{{2 - 1}}\]

Теперь решим уравнение относительно \(n\):
\[32 = 2^n - 1\]
\[2^n = 33\]

Поскольку 2 в степени \(n\) должно быть равно 33, делаем вывод, что \(n = \log_2 33\).

Теперь, чтобы найти общее количество подданных (\(N\)), мы подставляем значение \(n\) в формулу:
\[N = \frac{{1(2^n - 1)}}{{2 - 1}}\]

Подставляем значение \(n = \log_2 33\):

\[N = \frac{{1(2^{\log_2 33} - 1)}}{{2 - 1}}\]

\[N = 2^{\log_2 33} - 1\]

\[N = 33 - 1\]

\[N = 32\]

Таким образом, общее количество подданных составляет 32.