Сколько работы нужно совершить, чтобы повернуть квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током I = 10

Mandarin

36

Чтобы найти количество работы, необходимой для поворота проводящего контура, мы можем использовать формулу:

\[W = -\int \vec{M} \cdot d\vec{\theta}\]

где \(W\) - это работа, \(\vec{M}\) - момент силы, действующий на контур, \(d\vec{\theta}\) - бесконечно малый угол поворота.

Момент силы, действующий на проводник в магнитном поле, можно найти по формуле:

\[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\]

где \(\vec{r}\) - вектор радиуса от оси вращения до точки на контуре, \( \vec{F} \) - сила, действующая на проводник в магнитном поле.

Сила, действующая на проводник в магнитном поле, определяется по формуле:

\[ \vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B} \]

где \(I\) - ток в проводнике, \(\vec{l}\) - вектор длины проводника, направленный по току, и \(\vec{B}\) - вектор магнитной индукции.

Длина проводника можно найти, учитывая, что это квадратный проводящий контур:

\(l = 4 \cdot \sqrt{2} \cdot a\)

где \(a\) - длина стороны квадратного контура.

Теперь мы можем начать вычисления.

Радиус \(\vec{r}\) равен половине длины стороны контура, так как это квадрат:

\(r = \frac{a}{2}\)

Вектор длины проводника \(\vec{l}\) направлен по току и равен длине стороны контура:

\(\vec{l} = a\)

Магнитная индукция \(\vec{B}\) равна 0,2 Тл и перпендикулярна плоскости контура.

Теперь мы можем рассчитать момент силы \(\vec{M}\):

\[
\begin{align*}
\vec{M} &= \vec{r} \times \vec{F} \\
&= \frac{a}{2} \times I \vec{l} \times \vec{B} \\
&= \frac{a}{2} \times I \times a \times \vec{l} \times \vec{B} \\
&= \frac{a^2}{2} \times I \times \vec{l} \times \vec{B}
\end{align*}
\]

Теперь мы можем подставить значение \(\vec{M}\) в формулу для работы:

\[
W = -\int \vec{M} \cdot d\vec{\theta} = -\int \frac{a^2}{2} \times I \times \vec{l} \times \vec{B} \cdot d\vec{\theta}
\]

Так как мы поворачиваем контур на 180°, угол поворота будет изменяться от 0 до \(\pi\). Подставим это значение в нашу формулу для работы:

\[
W = -\int_0^{\pi} \frac{a^2}{2} \times I \times \vec{l} \times \vec{B} \cdot d\vec{\theta}
\]

Вычислим интеграл:

\[
\begin{align*}
W &= -\frac{a^2}{2} \times I \times \vec{l} \times \vec{B} \cdot \int_0^{\pi} d\vec{\theta} \\
&= -\frac{a^2}{2} \times I \times \vec{l} \times \vec{B} \cdot [\vec{\theta}]_0^{\pi} \\
&= -\frac{a^2}{2} \times I \times \vec{l} \times \vec{B} \cdot (\pi - 0) \\
&= -\frac{a^2}{2} \times I \times \vec{l} \times \vec{B} \times \pi \\
&= -\frac{(\sqrt{2} \cdot a)^2}{2} \times I \times a \times B \times \pi \\
&= -\frac{2a^2}{2} \times I \times a \times B \times \pi \\
&= -a^3 \times I \times B \times \pi
\end{align*}
\]

Теперь мы можем подставить значения стороны квадратного контура (\(a = 20\) см), тока (\(I = 10\) А) и магнитной индукции (\(B = 0,2\) Тл) в выражение для работы:

\[
W = - (20 \, \text{см})^3 \times 10 \, \text{А} \times 0,2 \, \text{Тл} \times \pi
\]

Вычислим эту формулу:

\[
W = - (0,2 \, \text{м})^3 \times 10 \, \text{А} \times 0,2 \, \text{Тл} \times \pi
\]

\[
W \approx - 0,008 \, \text{м}^3 \cdot \text{А} \cdot \text{Тл} \cdot \pi
\]

Таким образом, количество работы, необходимое для поворота квадратного проводящего контура, равно примерно \( - 0,008 \, \text{м}^3 \cdot \text{А} \cdot \text{Тл} \cdot \pi \). Знак минус указывает, что работа отрицательна. В данном случае, отрицательный знак говорит нам о том, что работа, совершаемая внешними силами, необходима для противостояния силе, действующей со стороны магнитного поля и препятствующей вращению контура.

Я надеюсь, что этот подробный ответ поможет вам понять, как решить данную задачу и объяснит, почему работа имеет определенный знак. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.