Сколько различных 6-буквенных кодов, состоящих из букв З, Д, А, Н, И и Е, может составить Артур, если каждую букву

Эльф

69

Для решения данной задачи нам необходимо вычислить количество различных 6-буквенных кодов, которые может составить Артур с использованием букв З, Д, А, Н, И и Е.

Поскольку каждую букву нужно использовать ровно один раз, мы можем применить принцип упорядоченных выборок без повторений перестановок. Это означает, что мы должны учесть также порядок, в котором буквы расположены.

Давайте рассмотрим два случая, в которых коды содержат либо две гласные и четыре согласных, либо две согласные и четыре гласных.

Первый случай: две гласные и четыре согласных.

У нас есть 2 гласные буквы (А и И) и 4 согласные буквы (З, Д, Н и Е). Проблема состоит в том, чтобы избежать соседства двух гласных или двух согласных. Разместим гласные буквы в абсолютно других позициях, чтобы избежать соседства. В этом случае количество перестановок гласных будет равно количеству перестановок согласных. Для этого нужно выбрать 2 позиции из 6, где мы разместим гласные, поэтому количество перестановок гласных будет \(\binom{6}{2}\). Также для каждой выбранной позиции у нас будет 2 буквы для размещения, поэтому количество перестановок согласных будет \(2 \times 2\). В итоге, количество кодов для данного случая будет равно \(\binom{6}{2} \times 2 \times 2\).

Второй случай: две согласные и четыре гласных.

Аналогично первому случаю, у нас будет \(\binom{6}{2}\) способов выбрать позиции для согласных, после чего мы разместим гласные в выбранных позициях. Также у нас будут 4 согласные буквы для размещения, поэтому количество перестановок согласных будет \(4 \times 4\). Для каждой оставшейся позиции у нас будет 2 буквы для размещения, поэтому количество перестановок гласных будет \(2 \times 2 \times 2\). В итоге, количество кодов для данного случая будет равно \(\binom{6}{2} \times 4 \times 4 \times 2 \times 2 \times 2\).

Наконец, мы должны сложить количество кодов из первого случая и количество кодов из второго случая, чтобы получить общее количество возможных кодов. Поэтому:

Общее количество возможных кодов = \(\binom{6}{2} \times 2 \times 2 + \binom{6}{2} \times 4 \times 4 \times 2 \times 2 \times 2\)

Вычислив это выражение, мы получим общее количество возможных кодов, которые может составить Артур.