Сколько разных 5-буквенных кодов можно составить из букв А, П, О, Р, Т, если каждая буква должна быть использована
Сколько разных 5-буквенных кодов можно составить из букв А, П, О, Р, Т, если каждая буква должна быть использована ровно один раз, и нельзя размещать две гласные рядом?
Tainstvennyy_Orakul 54
Чтобы решить эту задачу, мы должны представить все возможные комбинации из данных букв и затем исключить те комбинации, где две гласные стоят рядом.Для начала, давайте определимся, сколько всего разных 5-буквенных кодов можно составить из данных букв, игнорируя условие о гласных буквах. Мы можем использовать формулу перестановки без повторений для этого.
Формула перестановки без повторений:
\[P(n,r) = \frac{{n!}}{{(n-r)!}}\]
где n - количество элементов для выбора (в данном случае 5), r - количество элементов в каждой комбинации (также 5).
Применяя эту формулу, мы получим:
\[P(5,5) = \frac{{5!}}{{(5-5)!}} = \frac{{5!}}{{0!}} = 5!\]
Теперь вычислим значение 5!:
\[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\]
Таким образом, без ограничений на гласные буквы, у нас есть 120 различных 5-буквенных кодов, которые можно составить из букв А, П, О, Р, Т.
Теперь давайте рассмотрим ограничение, что две гласные не могут стоять рядом. Для этого мы должны рассмотреть все возможные случаи размещения гласных букв и вычислить общее количество комбинаций, которые удовлетворяют данному условию.
У нас есть две гласные буквы - А и О. Рассмотрим следующие возможные случаи размещения:
1) _ А _ О _ : Где " _ " представляет любую согласную букву (П, Р, Т). В этом случае у нас 3 варианта для второй и четвертой позиции.
2) _ О _ А _ : В этом случае также у нас 3 варианта для второй и четвертой позиции.
Таким образом, у нас есть 3 варианта размещения гласных букв для каждого из вышеперечисленных случаев. Кроме того, у нас есть 3 возможных значения для каждой из согласных букв на первой, третьей и пятой позициях.
Поэтому, общее количество комбинаций, удовлетворяющих условию, равно:
\(3 \times 2 \times 3 \times 2 \times 3 = 108\)
Итак, мы можем составить 108 различных 5-буквенных кодов из букв А, П, О, Р, Т, при условии, что каждая буква должна быть использована ровно один раз, и две гласные не могут стоять рядом.