Сколько семерок содержится в записи значения выражения (512^78 - 512^60)(512^5 + 64^5) в восьмеричной системе

Муравей

51

Мы можем решить эту задачу, разложив выражение на множители и посчитав количество семерок в каждом из них.

Первый множитель выражения (512^78 - 512^60) представляет собой разность двух степеней. Мы можем сократить оба слагаемых, выделив общий множитель 512^60:

(512^78 - 512^60) = 512^60 * (512^18 - 1)

Заметим, что 512 = 8^3, поэтому мы можем переписать это выражение в восьмеричной системе счисления:

(8^3)^78 - (8^3)^60 = 8^180 - 8^120 = 8^120 * (8^60 - 1)

Теперь мы можем перейти ко второму множителю выражения (512^5 + 64^5). Здесь мы можем заметить, что 512 = 8^3 и 64 = 8^2.

(8^3)^5 + (8^2)^5 = 8^15 + 8^10

Когда мы перемножаем два числа в восьмеричной системе счисления, мы складываем их показатели степеней. Таким образом, мы получим:

8^15 + 8^10 = 8^10 * (8^5 + 1)

Теперь у нас есть оба множителя выражения:

Первый множитель: 8^120 * (8^60 - 1)
Второй множитель: 8^10 * (8^5 + 1)

Создадим произведение этих двух множителей и упростим его:

(8^120 * (8^60 - 1))(8^10 * (8^5 + 1)) = 8^130 * (8^65 - 1)

Теперь давайте вернемся к исходному вопросу: сколько семерок содержится в записи данного выражения в восьмеричной системе счисления?

На самом деле, чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно знать, сколько семерок содержится в самом числе 8^130. Поскольку 8^130 является очень большим числом, нам будет сложно посчитать его точное значение.

Однако мы можем заметить, что при возведении в степень 8^130, мы будем получать восьмеричные числа, в которых будут только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, но не будет цифры 8. Это означает, что в записи числа 8^130 не будет семерок.

Поэтому, в исходном выражении (512^78 - 512^60)(512^5 + 64^5) в восьмеричной системе счисления, нет семерок.