Сколько слагаемых останется после раскрытия скобок и объединения подобных в выражении (1 + x^2 + x^4 + … + x^30)^2

Marina

26

Чтобы решить данную задачу, мы должны раскрыть скобки и объединить подобные слагаемые. Давайте рассмотрим каждую скобку отдельно.

В первой скобке у нас есть ряд степеней x, начиная с x^0 (что равно 1) и заканчивая x^30. Если мы хотим раскрыть скобки в квадрате, то каждое слагаемое в этой скобке умножается на каждое слагаемое в скобке. Таким образом, мы умножаем каждое слагаемое в первой скобке на каждое слагаемое в первой скобке. В итоге получим:

(1 + x^2 + x^4 + … + x^30)^2 = 1*1 + 1*x^2 + 1*x^4 + … + 1*x^30 + x^2 * 1 + x^2 * x^2 + x^2 * x^4 + … + x^2 * x^30 + x^4 * 1 + x^4 * x^2 + x^4 * x^4 + … + x^4 * x^30 + … + x^30 * 1 + x^30 * x^2 + x^30 * x^4 + … + x^30 * x^30

Теперь давайте рассмотрим вторую скобку (1 + x^3 + x^6 + … + x^30). Здесь есть ряд степеней x с шагом 3, начиная с x^0 (1) и заканчивая x^30. Мы снова умножаем каждое слагаемое в этой скобке на каждое слагаемое в первой скобке:

(1 + x^3 + x^6 + … + x^30) = 1*(1 + x^2 + x^4 + … + x^30) + x^3*(1 + x^2 + x^4 + … + x^30) + x^6*(1 + x^2 + x^4 + … + x^30) + … + x^30*(1 + x^2 + x^4 + … + x^30)

Теперь объединим все слагаемые. Поскольку одинаковые степени x являются подобными слагаемыми, мы можем объединить их и записать их в одно слагаемое с соответствующими коэффициентами:

В итоге получим:

(1 + x^2 + x^4 + … + x^30)^2 + (1 + x^3 + x^6 + … + x^30) = 1 + 2*x^2 + 2*x^3 + 3*x^4 + 3*x^5 + … + 30*x^30

Итак, после раскрытия скобок и объединения подобных слагаемых, в выражении останется 30 слагаемых.