Сколько способов окрасить все узлы прямоугольной сетки размером 2 × 4 таким образом, чтобы поворот сетки

Parovoz_8748

36

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод комбинаторики. Давайте посмотрим на каждый узел сетки и рассмотрим возможные варианты окраски.

Для удобства, давайте обозначим каждый узел буквой A, B, C или D:

A B
C D

Если мы окрасим все узлы одинаковыми цветами, то поворот на 180 градусов не изменит их расположение. Таким образом, у нас есть 4 различные комбинации окраски: AAAA, BBBB, CCCC и DDDD.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда узлы окрашены попарно разными цветами. Для этого у нас есть два варианта:

1. Узлы A и D окрашены одним цветом, а узлы B и C - другим цветом.
В этом случае, у нас есть две возможности выбора цвета для узла A (2 варианта) и две возможности выбора цвета для узла B (2 варианта). После этого, цвета для узлов C и D уже определяются.
Таким образом, всего у нас есть 2 * 2 = 4 комбинации.

2. Узлы B и D окрашены одним цветом, а узлы A и C - другим цветом.
В этом случае, у нас также есть две возможности выбора цвета для узла A (2 варианта) и две возможности выбора цвета для узла B (2 варианта). Цвета для узлов C и D снова определяются автоматически.
И снова, всего у нас есть 2 * 2 = 4 комбинации.

Таким образом, если мы учтем все возможные комбинации окраски, ответ на задачу будет равен 4 (комбинации, когда все узлы одинаково окрашены) + 4 (комбинации, когда узлы окрашены попарно разными цветами) = 8.

Мы пришли к выводу, что есть 8 различных способов окрасить все узлы прямоугольной сетки 2 × 4 таким образом, чтобы поворот сетки на 180 градусов вокруг центра по часовой стрелке приводил к идентичному расположению.