Сколько способов распределения призов между 12 девушками в 20 номинациях, где каждая номинация имеет свою уникальную

Амина

58

Чтобы вычислить количество способов распределения призов между 12 девушками в 20 номинациях, где каждая номинация имеет свою уникальную премию, мы можем использовать комбинаторику и принципы перестановок.

Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Распределение премий в каждой номинации.
В каждой из 20 номинаций нужно выбрать по одной девушке для получения приза. Это можно сделать \(C(12, 1)\) способами, где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\). В данном случае, мы выбираем одну девушку из 12.

Шаг 2: Упорядочивание номинаций.
Теперь нам нужно упорядочить 20 номинаций так, чтобы каждая получившая приз девушка занимала отдельное место в своей номинации. Это можно сделать \(P(20, 20)\) способами, где \(P(n, k)\) обозначает число размещений из \(n\) по \(k\). В данном случае, у нас есть 20 различных призов, которые мы упорядочиваем в номинациях.

Шаг 3: Общее количество способов.
Для получения общего количества способов мы должны перемножить результаты из шагов 1 и 2, так как каждая номинация и распределение призов в каждой номинации независимы друг от друга.

Теперь вычислим:

Количество способов распределения призов между 12 девушками в 20 номинациях:
\[C(12, 1) \times P(20, 20)\]

Подставляя значения, получим:
\[\binom{12}{1} \times P(20, 20)\]

Далее, вычислим каждое из этих значений:

\[\binom{12}{1} = \frac{12!}{1! \cdot (12-1)!} = 12\]

\(P(20, 20)\) означает число возможных перестановок 20 уникальных призов. В данном случае, это будет равно:
\[20! = 20 \times 19 \times 18 \times \ldots \times 1\]

Таким образом, количество способов распределения призов между 12 девушками в 20 номинациях равно:
\[12 \times 20! = 12 \times 20 \times 19 \times 18 \times \ldots \times 1\]