Рома выбрал некоторое натуральное число п, обнаружил один из его делителей, увеличил этот делитель в 4 раза и вычел

Orel

37

Решение:

Пусть исходное число, выбранное Ромой, обозначается как $p$. Также пусть делитель, который он обнаружил, будет обозначен как $d$.

Согласно условию задачи, Рома увеличил делитель $d$ в 4 раза и вычел из $p$, что привело к результату 11:

$$dp-p=11\text{(1)}$$

Таким образом, получаем уравнение, которое необходимо решить. Для начала заметим, что делитель $d$ является делителем числа $p$, следовательно, $d$ делит $p$ без остатка. Мы также знаем, что $d$ является целым числом.

Из уравнения (1) мы можем выразить $p$ следующим образом:

$$dp-p=11⟹p(d-1)=11$$

Теперь мы можем приступить к анализу всех возможных значений для $p$ и $d$, удовлетворяющих условиям задачи:

$$\begin{array}{rl}& p=1,d=12:1\times (12-1)=11\\ & p=11,d=2:11\times (2-1)=11\end{array}$$

Таким образом, мы нашли два возможных варианта, при которых Рома мог выбрать число $p$ (1 и 11). Докажем, что других возможных значений нет.

Предположим, что существует третье натуральное число $k$ такое, что $pk-p=11$ и не равное 1 или 11. Тогда имеем:

$$pk-p=11⟹p(k-1)=11$$

Так как 11 - простое число, то у него всего два делителя: 1 и 11. Следовательно, $k-1=1$ или $k-1=11$, что ведет к $k=2$ или $k=12$.

Однако, если $k=2$ или $k=12$, то $pk-p=11$ выполнено только для $p=11$ и $d=2$ или для $p=1$ и $d=12$. Таким образом, других решений у нас нет.

Ответ: Рома мог выбрать число 1 или 11. Других возможных вариантов нет.