Рома выбрал некоторое натуральное число п, обнаружил один из его делителей, увеличил этот делитель в 4 раза и вычел

Orel

37

Решение:

Пусть исходное число, выбранное Ромой, обозначается как \( p \). Также пусть делитель, который он обнаружил, будет обозначен как \( d \).

Согласно условию задачи, Рома увеличил делитель \( d \) в 4 раза и вычел из \( p \), что привело к результату 11:

\[
dp - p = 11 \quad \text{(1)}
\]

Таким образом, получаем уравнение, которое необходимо решить. Для начала заметим, что делитель \( d \) является делителем числа \( p \), следовательно, \( d \) делит \( p \) без остатка. Мы также знаем, что \( d \) является целым числом.

Из уравнения (1) мы можем выразить \( p \) следующим образом:

\[
dp - p = 11 \implies p(d - 1) = 11
\]

Теперь мы можем приступить к анализу всех возможных значений для \( p \) и \( d \), удовлетворяющих условиям задачи:

\[
\begin{align*}
& p = 1, \quad d = 12: 1 \times (12 - 1) = 11 \\
& p = 11, \quad d = 2: 11 \times (2 - 1) = 11
\end{align*}
\]

Таким образом, мы нашли два возможных варианта, при которых Рома мог выбрать число \( p \) (1 и 11). Докажем, что других возможных значений нет.

Предположим, что существует третье натуральное число \( k \) такое, что \( pk - p = 11 \) и не равное 1 или 11. Тогда имеем:

\[
pk - p = 11 \implies p(k - 1) = 11
\]

Так как 11 - простое число, то у него всего два делителя: 1 и 11. Следовательно, \( k - 1 = 1 \) или \( k - 1 = 11 \), что ведет к \( k = 2 \) или \( k = 12 \).

Однако, если \( k = 2 \) или \( k = 12 \), то \( pk - p = 11 \) выполнено только для \( p = 11 \) и \( d = 2 \) или для \( p = 1 \) и \( d = 12 \). Таким образом, других решений у нас нет.

Ответ: Рома мог выбрать число 1 или 11. Других возможных вариантов нет.