Сколько способов выбрать состав жюри олимпиады по компьютерному моделированию из 15 преподавателей кафедры информатики?

Искрящаяся_Фея

3

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать комбинаторику. Мы можем выбрать состав жюри из 15 преподавателей кафедры информатики. Порядок выбора учителей в этой задаче не имеет значения, поэтому мы будем использовать комбинации.

Количество способов выбрать комитет размером k из n участников можно выразить через биномиальные коэффициенты:

\[{C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\]

где n - общее число элементов, k - количество выборочных элементов. В нашем случае, число кандидатов (n) равно 15, а размер жюри (k) не указан, так что мы должны рассмотреть разные варианты.

Поскольку вам нужно знать количество способов выбрать состав жюри без указания его размера, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации для различных размеров жюри и сложить их.

Давайте рассмотрим все возможные размеры жюри, начиная с 1 и заканчивая 15:

\begin{align*}
C(15, 1) &= \frac{15!}{1!(15-1)!} = 15\\
C(15, 2) &= \frac{15!}{2!(15-2)!} = 105\\
C(15, 3) &= \frac{15!}{3!(15-3)!} = 455\\
C(15, 4) &= \frac{15!}{4!(15-4)!} = 1365\\
C(15, 5) &= \frac{15!}{5!(15-5)!} = 3003\\
C(15, 6) &= \frac{15!}{6!(15-6)!} = 5005\\
C(15, 7) &= \frac{15!}{7!(15-7)!} = 6435\\
C(15, 8) &= \frac{15!}{8!(15-8)!} = 6435\\
C(15, 9) &= \frac{15!}{9!(15-9)!} = 5005\\
C(15, 10) &= \frac{15!}{10!(15-10)!} = 3003\\
C(15, 11) &= \frac{15!}{11!(15-11)!} = 1365\\
C(15, 12) &= \frac{15!}{12!(15-12)!} = 455\\
C(15, 13) &= \frac{15!}{13!(15-13)!} = 105\\
C(15, 14) &= \frac{15!}{14!(15-14)!} = 15\\
C(15, 15) &= \frac{15!}{15!(15-15)!} = 1\\
\end{align*}

Теперь мы можем сложить все полученные значения:

\[
15 + 105 + 455 + 1365 + 3003 + 5005 + 6435 + 6435 + 5005 + 3003 + 1365 + 455 + 105 + 15 + 1 = 32767
\]

Таким образом, существует 32767 способов выбрать состав жюри олимпиады по компьютерному моделированию из 15 преподавателей кафедры информатики.