Сколько станций пересадки необходимо построить в городском метро с 100 линиями, при условии, что каждые две линии
Сколько станций пересадки необходимо построить в городском метро с 100 линиями, при условии, что каждые две линии должны пересекаться только в одной общей станции, и нужно, чтобы ровно три линии встречались только на одной станции, и таких станций не должно быть больше?
Блестящая_Королева 64
Хорошо, давайте разберем задачу шаг за шагом.Первое, что следует отметить, это то, что у нас есть 100 линий метро. Каждые две линии должны пересекаться только в одной общей станции. Поэтому нам нужно определить, сколько возможных комбинаций линий есть для создания станций пересадки.
Найдем количество пар, которые можно образовать среди 100 линий. Для этого используем формулу сочетаний из математики: \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - количество элементов, а \(k\) - количество выбранных элементов.
В нашем случае \(n = 100\) и \(k = 2\). Подставим значения в формулу и получим:
\[\binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!}\]
Теперь нам нужно найти количество троек линий, чтобы они пересекались на одной станции. Для этого воспользуемся аналогичной формулой, где \(k = 3\):
\[\binom{100}{3} = \frac{100!}{3!(100-3)!}\]
На данном этапе имеем количество пар и количество троек, но некоторые пересечения могут совпадать. Нам нужно учесть это при подсчете станций пересадки.
Чтобы ровно три линии встречались только на одной станции, мы можем построить станцию пересадки для каждой тройки линий и каждой пары линий.
То есть количество станций пересадки будет равно сумме количества пар и количества троек:
\[количество \: станций = \binom{100}{2} + \binom{100}{3}\]
Мы можем просчитать это значение, используя формулу, приведенную выше, и получим окончательный ответ.