1. Перепишите условие и требование каждой из следующих задач. При переформулировке задачи, удалите элементы условия

Марго

30

Прекрасно! Давайте начнем с первой задачи.

Задача: Из города в лагерь отправились два автобуса одновременно. Расстояние между городом и лагерем составляет 72 км. Первый автобус прибыл в лагерь на 15 минут раньше второго. Какая скорость была у каждого из автобусов, если один из них двигался со скоростью, превышающей скорость другого на 4 км/ч?

Переформулируем задачу, удалив элементы условия из предложения с требованием: Какая скорость была у каждого из автобусов, если один из них двигался со скоростью, превышающей скорость другого на 4 км/ч?

Решение:

Пусть \(v_1\) - скорость первого автобуса, а \(v_2\) - скорость второго автобуса.

Мы знаем, что расстояние между городом и лагерем составляет 72 км, и автобусы отправились одновременно.

Скорость можно выразить формулой \(v = \frac{S}{t}\), где \(v\) - скорость, \(S\) - расстояние и \(t\) - время.

Возьмем время, которое прошло у второго автобуса, равное \(t\) часов. Так как первый автобус прибыл на 15 минут раньше, то у него время равно \((t + \frac{1}{4})\) часов.

Расстояние для обоих автобусов равно 72 км.

Для первого автобуса:
\[v_1 = \frac{72}{t + \frac{1}{4}}\]

Для второго автобуса:
\[v_2 = \frac{72}{t}\]

Мы также знаем, что скорость первого автобуса превышает скорость второго на 4 км/ч:
\[v_1 = v_2 + 4\]

Теперь мы можем составить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
v_1 = v_2 + 4 \\
v_1 = \frac{72}{t + \frac{1}{4}} \\
v_2 = \frac{72}{t}
\end{cases}
\]

Решим систему уравнений методом подстановки:

Из третьего уравнения получаем: \(v_2 = \frac{72}{t}\). Подставим это значение во второе уравнение:

\[v_1 = \frac{72}{t + \frac{1}{4}}\]

Подставим значение \(v_2\) в первое уравнение:

\[\frac{72}{t + \frac{1}{4}} = \frac{72}{t} + 4\]

Упростим уравнение, умножив обе части на \(t(t+\frac{1}{4})\):

\[72t = 72(t + \frac{1}{4}) + 4t(t + \frac{1}{4})\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[72t = 72t + 18 + 4t^2 + t\]

Сократив одинаковые члены, получаем квадратное уравнение:

\[4t^2 + t - 18 = 0\]

Решим это уравнение с помощью квадратного корня:

\[t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18)}}{2 \cdot 4}\]

Теперь найдем скорость первого и второго автобуса, подставив найденное значение для \(t\).

По теореме Виета мы знаем, что сумма корней этого квадратного уравнения равна \(\frac{-1}{4}\). Подставим это значение в уравнение:

\[t_1 + t_2 = \frac{-1}{4}\]

Решим это уравнение:

\[t_1 + \frac{-1}{4} - t_1 = 0\]

\[t_1 = \frac{-1}{4}\]

Подставим найденное значение \(t_1\) в систему уравнений для нахождения скоростей:

\[
\begin{align*}
v_1 &= \frac{72}{t_1 + \frac{1}{4}} \\
v_2 &= \frac{72}{t_1}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
v_1 &= \frac{72}{\frac{-1}{4} + \frac{1}{4}} \\
v_2 &= \frac{72}{\frac{-1}{4}}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
v_1 &= \frac{72}{0} \\
v_2 &= \frac{72}{\frac{-1}{4}}
\end{align*}
\]

Заметим, что во время решения уравнения возникло деление на ноль, что означает, что система не имеет решений.

Ответ: данная задача не имеет решения, так как система уравнений не имеет значений скоростей, удовлетворяющих условию задачи.