Сколько сторон и диагоналей имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов составляет 2700?

Малышка_4378

10

Чтобы определить количество сторон и диагоналей выпуклого многоугольника, зная сумму его углов, нам понадобятся некоторые свойства и формулы.

1. Формула суммы углов в выпуклом многоугольнике:
В невырожденном (имеющем хотя бы три стороны) выпуклом многоугольнике с \(n\) сторонами сумма его внутренних углов равна \((n-2) \times 180^\circ\).

2. Формула для определения количества диагоналей в выпуклом многоугольнике:
Количество диагоналей (\(d\)) в выпуклом многоугольнике с \(n\) сторонами (не включая стороны многоугольника) можно вычислить по формуле: \(d = \frac{n \times (n-3)}{2}\).

Теперь применим эти формулы к нашей задаче.

Итак, у нас есть многоугольник с неизвестным количеством сторон (\(n\)), и сумма его углов равна 2700.

По формуле суммы углов в выпуклом многоугольнике, у нас есть следующее уравнение:
\((n-2) \times 180^\circ = 2700\).

Решим его:
\[n - 2 = \frac{2700}{180}\]
\[n - 2 = 15\]
\[n = 15 + 2\]
\[n = 17\].

Таким образом, количество сторон в нашем многоугольнике равно 17.

Подставим значение в формулу для определения количества диагоналей:
\[d = \frac{17 \times (17-3)}{2}\]
\[d = \frac{17 \times 14}{2}\]
\[d = \frac{238}{2}\]
\[d = 119\].

Ответ: В выпуклом многоугольнике с суммой углов 2700 имеется 17 сторон и 119 диагоналей.