Сколько существует 10-значных чисел, состоящих только из цифр 8 и 9, в которых две девятки не идут подряд?

Gennadiy_38

38

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод комбинаторики и принципы упорядоченных множеств.

Давайте разобьем задачу на подзадачи и рассмотрим пошаговое решение:

Шаг 1: Определение количества возможных вариантов для позиции первой цифры числа.
- Так как числа состоят только из цифр 8 и 9, то у нас есть 2 возможных варианта для первой цифры: 8 или 9.

Шаг 2: Определение количества возможных вариантов для позиции второй цифры числа.
- Если первая цифра числа равна 8, то для второй цифры мы также можем выбрать из двух вариантов: 8 или 9.
- Однако, если первая цифра числа равна 9, то для второй цифры мы можем выбрать только один вариант - 8, чтобы избежать ситуации, когда две девятки идут подряд.

Шаг 3: Определение количества возможных вариантов для остальных позиций числа.
- Для всех следующих цифр числа, кроме первых двух, у нас будет по 2 возможных варианта: 8 или 9.
- Мы повторяем этот шаг 8 раз (так как число имеет 10 цифр, а первые две цифры уже определены).

Шаг 4: Расчет общего числа возможных вариантов.
- Чтобы найти общее количество возможных 10-значных чисел, мы перемножаем количество возможных вариантов для каждой позиции.
- Для первой цифры - 2 варианта.
- Для второй цифры - 2 варианта, если первая цифра равна 8, и 1 вариант, если первая цифра равна 9.
- Для оставшихся 8 позиций - по 2 варианта каждая.
- Итак, общее количество возможных чисел можно вычислить следующим образом:

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4096\]

Ответ: Существует 4096 различных 10-значных чисел, состоящих только из цифр 8 и 9, в которых две девятки не идут подряд.