Сколько существует четырехугольников с вершинами в отмеченных точках правильного восьмиугольника?

Vihr_9737

18

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторный подход. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

1. Найдем количество способов выбрать 4 вершины из 8 вершин правильного восьмиугольника. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний:
\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\),
где \(n\) - количество элементов, а \(k\) - количество элементов, которые мы выбираем.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\(\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70\).

Таким образом, у нас есть 70 способов выбрать 4 вершины из 8.

2. Теперь давайте рассмотрим выбранные вершины. Чтобы образовать четырехугольник, мы должны выбрать 4 вершины таким образом, чтобы они не лежали на одной прямой.

Чтобы это понять, представьте, что мы последовательно соединяем выбранные вершины линиями. Если эти линии образуют замкнутую фигуру без самопересечений и внутренних точек, то мы получим четырехугольник. Если же линии лежат на одной прямой, то четырехугольник получить невозможно.

Найдем количество способов выбрать 4 вершины, лежащие на одной прямой. Таких способов будет:
8.

3. Теперь вычтем количество "невалидных" четырехугольников из общего числа способов.

Общее число способов выбрать 4 вершины из 8 равно 70. Из них 8 способов будут невалидными.

Таким образом, общее количество валидных четырехугольников равно:
\(70 - 8 = 62\).

Таким образом, существует 62 четырехугольника с вершинами в отмеченных точках правильного восьмиугольника.