Сколько существует четырехугольников с вершинами в отмеченных точках правильного восьмиугольника?

Vihr_9737

18

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторный подход. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

1. Найдем количество способов выбрать 4 вершины из 8 вершин правильного восьмиугольника. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний:
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$,
где $n$ - количество элементов, а $k$ - количество элементов, которые мы выбираем.

Подставляя значения в формулу, получаем:
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})=\frac{8!}{4!(8-4)!}=\frac{8!}{4!4!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=70$.

Таким образом, у нас есть 70 способов выбрать 4 вершины из 8.

2. Теперь давайте рассмотрим выбранные вершины. Чтобы образовать четырехугольник, мы должны выбрать 4 вершины таким образом, чтобы они не лежали на одной прямой.

Чтобы это понять, представьте, что мы последовательно соединяем выбранные вершины линиями. Если эти линии образуют замкнутую фигуру без самопересечений и внутренних точек, то мы получим четырехугольник. Если же линии лежат на одной прямой, то четырехугольник получить невозможно.

Найдем количество способов выбрать 4 вершины, лежащие на одной прямой. Таких способов будет:
8.

3. Теперь вычтем количество "невалидных" четырехугольников из общего числа способов.

Общее число способов выбрать 4 вершины из 8 равно 70. Из них 8 способов будут невалидными.

Таким образом, общее количество валидных четырехугольников равно:
$70-8=62$.

Таким образом, существует 62 четырехугольника с вершинами в отмеченных точках правильного восьмиугольника.