Сколько существует пар неотрицательных чисел (x, y), где x и y не больше 6π, удовлетворяющих уравнению (tgx + cty)2

Svetlyachok_V_Lesu_458

32

Для данной задачи, давайте постепенно найдем количество пар неотрицательных чисел (x, y), которые удовлетворяют уравнению \((\tan{x} + c\tan{y})^2 = (\tan{x} + 1)(c\tan{y})\) при условии, что \(x\) и \(y\) не превосходят \(6\pi\).

1. Разложение уравнения:
\vspace{-0.2cm}
\[\begin{align*}
(\tan{x} + c\tan{y})^2 &= (\tan{x} + 1)(c\tan{y}) \quad \text{(1)}
\end{align*}\]
\vspace{-0.4cm}

2. Раскроем выражения по формуле квадрата суммы:
\vspace{-0.2cm}
\[\begin{align*}
\tan^2{x} + 2c\tan{x}\tan{y} + c^2\tan^2{y} &= c\tan{x}\tan{y} + \tan{x} + c\tan{y} \quad \text{(2)}
\end{align*}\]
\vspace{-0.4cm}

3. Упростим выражение, вычитая \((c\tan{x}\tan{y} + \tan{x} + c\tan{y})\) с обеих сторон:
\vspace{-0.2cm}
\[\begin{align*}
\tan^2{x} + c^2\tan^2{y} - \tan{x} + 2c\tan{x}\tan{y} - c\tan{x}\tan{y} - c\tan{y} &= 0 \quad \text{(3)}
\end{align*}\]
\vspace{-0.4cm}

4. Объединим подобные слагаемые:
\vspace{-0.2cm}
\[\begin{align*}
\tan^2{x} + (c^2 - 1)\tan^2{y} + 2c\tan{x}\tan{y} - c\tan{y} - \tan{x} &= 0 \quad \text{(4)}
\end{align*}\]
\vspace{-0.4cm}

5. Отметим, что это квадратное уравнение относительно переменной \(\tan{x}\):
\vspace{-0.2cm}
\[\begin{align*}
(\tan{x})^2 + (2c\tan{y} - 1)\tan{x} + (c^2 - 1)\tan^2{y} - c\tan{y} &= 0 \quad \text{(5)}
\end{align*}\]
\vspace{-0.4cm}

6. Рассмотрим полученное уравнение как квадратное уравнение относительно \(\tan{x}\) и применим формулу дискриминанта:
\vspace{-0.2cm}
\[\begin{align*}
D &= (2c\tan{y} - 1)^2 - 4(c^2 - 1)\tan^2{y} + 4c\tan{y} \\
&= 4c^2\tan^2{y} - 4c\tan{y} + 1 - 4c^2\tan^2{y} + 4\tan^2{y} + 4c\tan{y} \\
&= 4\tan^2{y} + 1 \\
&= 4(\sin^2{y} / \cos^2{y}) + 1 \\
&= 4(\sin^2{y} + \cos^2{y}) / \cos^2{y} \\
&= 4 / \cos^2{y} \\
&= \sec^2{y}
\end{align*}\]
\vspace{-0.4cm}

7. Заметим, что дискриминант \(D\) является квадратом косеканса второго аргумента уравнения, \(\tan{y}\).

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: \(D = 0\)
Если \(D = 0\), то \(\sec^2{y} = 0\), что невозможно, так как \(\sec^2{y}\) всегда положительно.
Следовательно, в этом случае нет решений.

Случай 2: \(D > 0\)
Если \(D > 0\), то \(\sec^2{y} > 0\), что возможно только при \(\tan{y} = \pm\infty\) (то есть \(y = \pi/2 + k\pi\), где \(k\) - целое число). Однако у нас есть ограничение \(y \leq 6\pi\), поэтому это уравнение приходит в силу только при \(k = 0\), то есть \(y = \pi/2\).

Теперь мы знаем \(y = \pi/2\).

8. Подставим \(y = \pi/2\) в уравнение (5) и упростим его:
\[\begin{align*}
(\tan{x})^2 + (2c - 1)\tan{x} + (c^2 - 1) - c &= 0 \quad \text{(6)}
\end{align*}\]

9. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(\tan{x}\). Можем решить его используя формулу дискриминанта:

\[\begin{align*}
D_2 &= (2c - 1)^2 - 4(c^2 - 1 - c) \\
&= 4c^2 - 4c + 1 - 4c^2 + 4 + 4c \\
&= 8
\end{align*}\]

10. Так как дискриминант \(D_2\) положителен, у уравнения (6) есть два корня. Следовательно, существует две пары значений \((x, y)\), удовлетворяющих условию уравнения (1).

Окончательный ответ: Существует две пары неотрицательных чисел \((x, y)\), где \(x\) и \(y\) не больше \(6\pi\), удовлетворяющих уравнению \((\tan{x} + c\tan{y})^2 = (\tan{x} + 1)(c\tan{y})\).