Сколько теплоты выделится в проволочном кольце диаметром 5 см, когда оно помещено в переменное магнитное поле, которое

Zvezdnaya_Galaktika

2

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы, связанные с тепловым эффектом электромагнитной индукции и законом Фарадея.

Сначала мы определим изменение магнитного потока \(\Delta\Phi\) через проволочное кольцо. Для этого воспользуемся следующей формулой:

\[
\Delta\Phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2
\]

где \(B\) - магнитная индукция, \(A\) - площадь поверхности проволочного кольца, а \(r\) - радиус кольца (половина его диаметра). В нашем случае, \(r = 2.5\) см = 0.025 м.

Первый этап: нарастание магнитного поля. Магнитное поле нарастает линейно в течение 15 секунд до значения \(B = 0.02\) Тл. Тогда изменение магнитного потока будет:

\[
\Delta\Phi_1 = B \cdot \pi r^2 = 0.02 \cdot \pi \cdot (0.025)^2
\]

Второй этап: уменьшение магнитного поля. Магнитное поле линейно уменьшается до нуля в течение 20 секунд. Тогда изменение магнитного потока будет:

\[
\Delta\Phi_2 = 0.02 \cdot \pi \cdot (0.025)^2
\]

Теперь мы можем найти общее изменение магнитного потока \(\Delta\Phi\):

\[
\Delta\Phi = \Delta\Phi_1 + \Delta\Phi_2
\]

Теперь нам нужно знать, что изменение магнитного потока обуславливает появление электродвижущей силы (ЭДС) в проволочном кольце, которая вызывает ток и, как следствие, выделяет теплоту.

Известно, что ЭДС, индуцируемая изменением магнитного потока, равна:

\[
\mathcal{E} = -\frac{{d\Phi}}{{dt}}
\]

где \(\mathcal{E}\) - ЭДС, а \(dt\) - маленький промежуток времени. Теплота \(\Delta Q\), выделяющаяся в кольце, связана с ЭДС следующим образом:

\[
\Delta Q = I \cdot \mathcal{E}
\]

где \(I\) - ток, проходящий через кольцо.

Теперь мы можем найти теплоту \(\Delta Q_1\), выделяющуюся на первом этапе, используя следующую формулу:

\[
\Delta Q_1 = -I \cdot \frac{{d\Phi_1}}{{dt}}
\]

Мы знаем, что на первом этапе магнитное поле меняется линейно, следовательно, скорость изменения магнитного поля \(\frac{{d\Phi_1}}{{dt}}\) будет постоянной. Рассмотрим, что ЭДС \(-\mathcal{E}\) на первом этапе будет постоянной величиной:

\[
-\mathcal{E}_1 = \frac{{\Delta\Phi_1}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta\Phi_1}}{{15}}
\]

Подставим это значение в формулу для теплоты:

\[
\Delta Q_1 = -I \cdot \frac{{d\Phi_1}}{{dt}} = -I \cdot \frac{{\Delta\Phi_1}}{{15}}
\]

Теперь мы можем выразить ток \(I\):

\[
I = -\frac{{\Delta Q_1 \cdot 15}}{{\Delta\Phi_1}}
\]

Теперь найдем теплоту \(\Delta Q_2\), выделяющуюся на втором этапе, используя аналогичные шаги:

\[
\Delta Q_2 = I \cdot \mathcal{E}_2 = I \cdot \frac{{\Delta\Phi_2}}{{\Delta t}} = I \cdot \frac{{\Delta\Phi_2}}{{20}}
\]

Теперь мы сможем найти общую теплоту \(\Delta Q\) выделяющуюся на проволочном кольце:

\[
\Delta Q = \Delta Q_1 + \Delta Q_2
\]

Сделаем замену \(I\) в этой формуле:

\[
\Delta Q = \left(-\frac{{\Delta Q_1 \cdot 15}}{{\Delta\Phi_1}}\right) + \left(\frac{{\Delta Q_2 \cdot 20}}{{\Delta\Phi_2}}\right)
\]

Теперь, когда у нас есть выражение для общей теплоты, мы можем подставить значения \(\Delta Q_1\), \(\Delta Q_2\), \(\Delta\Phi_1\) и \(\Delta\Phi_2\) и вычислить ответ. Я здесь назову только итоговую формулу, чтобы ответ был понятен:

\[
\Delta Q = \left(-\frac{{\Delta Q_1 \cdot 15}}{{\Delta\Phi_1}}\right) + \left(\frac{{\Delta Q_2 \cdot 20}}{{\Delta\Phi_2}}\right)
\]