Сколько умножений потребуется для возведения числа х в степень n=147, если разработать эффективный алгоритм для этой

Skvoz_Pyl

39

Чтобы решить данную задачу, нужно разработать эффективный алгоритм для возведения числа \( x \) в степень \( n = 147 \). Давайте рассмотрим несколько вариантов и выберем самый оптимальный.

Первый способ - "naive" возведение в степень:

1. Начинаем с заданного числа \( x \) и устанавливаем счетчик умножений в 0.
2. Умножаем \( x \) само на себя \( n \) раз (147 раз в данном случае), увеличивая счетчик умножений после каждого умножения.
3. В итоге получаем результат.

Давайте посчитаем количество умножений в этом способе. Так как мы умножаем \( x \) само на себя \( n \) раз, то в данном случае будет выполнено \( n - 1 \) умножение.

Теперь рассмотрим второй способ - "разделяй и властвуй" (divide-and-conquer):

1. Если \( n \) четное, то вычисляем \( x^{n/2} \) и получаем промежуточный результат \( y \), увеличивая счетчик умножений на 1.
2. Затем вычисляем \( y \cdot y \), увеличивая счетчик умножений на 1.
3. Если \( n \) нечетное, то умножаем промежуточный результат \( y \) на \( x \), увеличивая счетчик умножений на 1.
4. В итоге получаем результат.

Давайте посчитаем количество умножений в этом способе. Так как мы выполняем умножение \( x^{n/2} \cdot x^{n/2} \) и дополнительное умножение для нечетного \( n \), то в данном случае будет выполнено \( \log_2(n) + 1 \) умножение.

Таким образом, для возводения числа \( x \) в степень \( n = 147 \) первый способ потребует \( 147 - 1 = 146 \) умножений, а второй способ потребует \( \log_2(147) + 1 = 8 \) умножений.

В конечном итоге, для данной задачи более эффективным вариантом является применение "разделяй и властвуй" алгоритма, который потребует только 8 умножений.