Сколько вариантов расселения доступно для группы командировочных, состоящей из восьми человек, в три комнаты

Шарик

36

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику. В данном случае нам нужно определить количество вариантов расселения группы командировочных из 8 человек в 3 комнаты: две трехместные и одну двухместную комнаты.

Давайте рассмотрим поэтапное решение задачи:

1. Количество способов выбрать 3 человека для расселения в двухместную комнату:
Мы можем выбрать 3 человека из 8 по формуле сочетаний:
\(\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!}\)

2. Количество способов выбрать 3 человека для расселения в первую трехместную комнату:
После выбора 3 человек для двухместной комнаты, остаются 5 человек, из которых нужно выбрать 3 человека:
\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}\)

3. Количество способов выбрать 2 человека для расселения во вторую трехместную комнату:
Остаются 2 человека после выбора 3 человек для двухместной комнаты и 3 человек для первой трехместной комнаты, поэтому нам нужно выбрать 2 человека из 2:
\(\binom{2}{2} = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1\)

4. Итоговое количество вариантов расселения:
Чтобы получить общее количество вариантов расселения, нужно перемножить количество вариантов для каждой комнаты:
Общее количество вариантов = количество вариантов для двухместной комнаты * количество вариантов для первой трехместной комнаты * количество вариантов для второй трехместной комнаты
Общее количество вариантов = \(\binom{8}{3} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{2}\)

Давайте вычислим это:

\(\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56\)

\(\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

\(\binom{2}{2} = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1\)

Итоговое количество вариантов расселения:
Общее количество вариантов = \(\binom{8}{3} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{2} = 56 \times 10 \times 1 = 560\)

Таким образом, у нас есть 560 вариантов расселения группы командировочных из восьми человек в три комнаты (две трехместные и одну двухместную).