Сколько возможных разбиений доски размером 2020*2019 (2020 строк и 2019 столбцов) на прямоугольники размером

Martyshka

43

Для решения данной задачи, давайте разобьем доску на 3 ряда с 2019 прямоугольниками в каждом ряду. В каждом ряду будем рассматривать определенные столбцы, чтобы удовлетворить условие пересечения одинакового количества прямоугольников размером 3*2.

Первый ряд будет состоять из столбцов 1, 2 и 3, второй ряд - из столбцов 2, 3 и 4, а третий ряд - из столбцов 3, 4 и 5. Далее будем сдвигать набор столбцов на 1 столбец вправо и пересчитывать количество возможных разбиений доски.

Для начала, рассмотрим только одну строку и посмотрим, сколько способов разбить её на прямоугольники размером 3*2. На данном этапе, не будем учитывать условие пересечения.

Количество способов разбить одну строку с \(n\) столбцами на прямоугольники размером 3*2 равно \((n-1)\) вариантов. Это происходит потому что мы можем начать прямоугольником в любом из \(n-1\) столбцов, а затем просто установить оставшиеся два столбца.

Таким образом, для одной строки размером 2019, у нас есть \((2019-1)\) различных способов разбить ее на прямоугольники размером 3*2, вне зависимости от условия пересечения одинакового количества прямоугольников.

Теперь рассмотрим случай, когда учитываем условие пересечения. Каждый столбец, кроме первого и последнего, будет входить в 2 разных набора столбцов, и в каждом наборе будут разные способы разбиения на прямоугольники размером 3*2.

Таким образом, количество способов разбить каждый столбец будет умножаться на 2. То есть, количество способов разбить второй столбец будет \(2 \cdot (2019-1)\), третий столбец - \(2 \cdot (2019-1)\) и так далее, до 2019 столбца.

Итак, общее количество способов разбиения доски размером 2020*2019 на прямоугольники размером 3*2 при условии пересечения одинакового количества прямоугольников равно:

\[
2 \cdot (2019-1) \cdot 2019 = 2 \cdot 2018 \cdot 2019
\]

Получается, что всего существует \(2 \cdot 2018 \cdot 2019\) возможных разбиений доски размером 2020*2019 на прямоугольники размером 3*2, при условии, что каждая строка доски пересекает одинаковое количество прямоугольников размером 3*2, расположенных вертикально.