Сколько возможных вариантов формирования групп из 15 человек на поездку в Лондон, Париж и Мадрид?

Zolotoy_Drakon

13

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и формулу сочетаний. Формула сочетаний используется для расчета количества различных комбинаций из \(n\) элементов, выбранных из множества из \(k\) элементов. В данном случае у нас есть 15 людей, которых нужно разделить на группы, и 3 города, поэтому \(n = 15\) и \(k = 3\). Формула сочетаний выглядит следующим образом:

\[{C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}}\]

где \(!\) обозначает факториал числа. Факториал числа - это произведение всех положительных целых чисел от 1 до этого числа.

Применяя формулу сочетаний к данной задаче, мы получим следующее:

\[{C(15, 3) = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15-3)!}}}\]

Чтобы решить это выражение, нам сначала нужно посчитать значения факториалов:

\[{15! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[{3! = 3 \cdot 2 \cdot 1}\]
\[{(15-3)! = 12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Теперь мы можем подставить значения факториалов в формулу сочетаний:

\[{C(15, 3) = \frac{{15!}}{{3! \cdot (15-3)!}} = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}}\]

Дальше простые сокращения позволяют нам упростить выражение:

\[{C(15, 3) = \frac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}}\]

\[{C(15, 3) = 455}\]

Таким образом, существует 455 различных вариантов формирования групп из 15 человек для поездки в Лондон, Париж и Мадрид.