Каковы корни квадратного трехчлена, если они равны -6 и 0,4, а старший коэффициент равен -1/3?

Baron_4369

34

Для того чтобы найти корни квадратного трехчлена с заданными условиями, нужно использовать информацию о корнях и старшем коэффициенте уравнения.

Давайте обозначим корни трехчлена как \(x_1\) и \(x_2\). Мы знаем, что у трехчлена с корнями \(x_1\) и \(x_2\) его многочлен будет иметь вид:

\[a(x - x_1)(x - x_2) = 0,\]

где \(а\) - это старший коэффициент трехчлена.

У нас данные корни -6 и 0,4, а старший коэффициент равен -1/3. Подставим все данные в формулу:

\[-\frac{1}{3}(x + 6)(x - 0.4) = 0.\]

Теперь раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[-\frac{1}{3}(x^2 - 0.4x + 6x - 2.4) = 0,\]

\[-\frac{1}{3}(x^2 + 5.6x - 2.4) = 0,\]

\[-\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{3}*5.6x + \frac{1}{3}*2.4 = 0,\]

\[-\frac{1}{3}x^2 - \frac{28}{15}x + \frac{8}{15} = 0.\]

Теперь у нас есть уравнение квадратного трехчлена в стандартной форме. Мы можем найти корни этого уравнения, используя дискриминант и формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[D = b^2 - 4ac,\]

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим коэффициенты \(a = -1/3\), \(b = -28/15\) и \(c = 8/15\) в формулу для дискриминанта:

\[D = (-28/15)^2 - 4*(-1/3)*(8/15),\]

\[D = 784/225 + 32/15 = 784/225 + 480/225 = 1264/225.\]

Теперь найдем корни трехчлена, используя формулы для \(x_{1,2}\):

\[x_{1,2} = \frac{28/15 \pm \sqrt{1264/225}}{2*(-1/3)},\]

\[x_{1,2} = \frac{28/15 \pm \sqrt{1264/225}}{-2/3},\]

\[x_{1,2} = \frac{28/15 \pm \sqrt{1264/225}}{-2/3} = \frac{28/15 \pm 8/15}{-2/3},\]

\[x_1 = \frac{28/15 + 8/15}{-2/3} = \frac{36/15}{-2/3} = -\frac{18}{5},\]

\[x_2 = \frac{28/15 - 8/15}{-2/3} = \frac{20/15}{-2/3} = -\frac{10}{9}.\]

Итак, корни квадратного трехчлена равны -\(\frac{18}{5}\) и -\(\frac{10}{9}\).