1) Каково математическое ожидание случайной величины X, которая представляет собой количество подбрасываний монеты

Misticheskiy_Lord

12

Задача 1:

Для решения данной задачи воспользуемся понятием математического ожидания и используем метод взвешивания вероятностей.

Пусть событие "Орёл" имеет вероятность \(p\), а событие "Решка" имеет вероятность \((1-p)\).

При первом подбрасывании монеты, есть два исхода: орёл или решка. Если выпадает орёл, то мы получаем 1 подбрасывание. Если выпадает решка, то мы должны провести ещё одно подбрасывание монеты и вернуться в начало нашей задачи. Таким образом, мы получаем рекурсивную последовательность, состоящую из одного подбрасывания орла и ожидания последующей последовательности подбрасываний до появления орла.

Следовательно, математическое ожидание случайной величины \(X\) можно выразить следующим образом:

\[
E(X) = p \cdot 1 + (1-p) \cdot (1 + E(X))
\]

Решим данное уравнение относительно \(E(X)\):

\[
E(X) = p + (1-p) \cdot (1 + E(X))
\]

\[
E(X) = p + 1 - p + (1-p) \cdot E(X)
\]

\[
E(X) \cdot (1 - (1-p)) = 1
\]

\[
E(X) \cdot p = 1
\]

\[
E(X) = \frac{1}{p}
\]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины \(X\) равно обратной вероятности появления орла на одном подбрасывании монеты.

Ответ: \(E(X) = \frac{1}{p}\)

Задача 2:

Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой и вероятностным методом.

Сначала посчитаем общее число способов выбрать 5 книг из городской библиотеки. Это можно сделать по формуле сочетаний:

\[
C_{5}^{n} = \frac{5!}{n!(5-n)!}
\]

где \(n\) - общее количество книг зарубежных издательств, \(5-n\) - количество книг российских издательств.

Теперь посчитаем количество способов выбрать 3 книги от российских издательств из общего количества российских книг и 2 книги от зарубежных издательств из общего количества зарубежных книг:

\[
C_{3}^{6} \cdot C_{2}^{2}
\]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных Вероникой книг будет ровно 3 книги от российских издательств, будет равна отношению количества способов выбрать 3 книги от российских книг и 2 книги от зарубежных книг к общему количеству способов выбрать 5 книг:

\[
P = \frac{C_{3}^{6} \cdot C_{2}^{2}}{C_{5}^{8}}
\]

Вычислим данное выражение:

\[
P = \frac{\frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \frac{2!}{2!(2-2)!}}{\frac{8!}{5!(8-5)!}}
\]

\[
P = \frac{20}{56} \approx 0.357
\]

Таким образом, вероятность того, что среди выбранных Вероникой книг будет ровно 3 книги от российских издательств, округленная до тысячных, составляет 0.357.

Ответ: 0.357